Álgebra Ejemplos

$\frac{8 x}{x^{2} - 49} + \frac{5}{x^{2} - 4 x - 21}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1.1

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$\frac{8 x}{x^{2} - 7^{2}} + \frac{5}{x^{2} - 4 x - 21}$

Paso 1.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 7$ .

$\frac{8 x}{(x + 7) (x - 7)} + \frac{5}{x^{2} - 4 x - 21}$

Paso 1.2

Factoriza $x^{2} - 4 x - 21$ con el método AC.

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Paso 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 21$ y cuya suma es $- 4$ .

$- 7, 3$

Paso 1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{8 x}{(x + 7) (x - 7)} + \frac{5}{(x - 7) (x + 3)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{8 x}{(x + 7) (x - 7)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{8 x}{(x + 7) (x - 7)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} + \frac{5}{(x - 7) (x + 3)}$

Paso 3

Para escribir $\frac{5}{(x - 7) (x + 3)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 7}{x + 7}$ .

$\frac{8 x}{(x + 7) (x - 7)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} + \frac{5}{(x - 7) (x + 3)} \cdot \frac{x + 7}{x + 7}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + 7) (x - 7) (x + 3)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{8 x}{(x + 7) (x - 7)}$ por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{8 x (x + 3)}{(x + 7) (x - 7) (x + 3)} + \frac{5}{(x - 7) (x + 3)} \cdot \frac{x + 7}{x + 7}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{5}{(x - 7) (x + 3)}$ por $\frac{x + 7}{x + 7}$ .

$\frac{8 x (x + 3)}{(x + 7) (x - 7) (x + 3)} + \frac{5 (x + 7)}{(x - 7) (x + 3) (x + 7)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(x + 7) (x - 7) (x + 3)$ .

$\frac{8 x (x + 3)}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)} + \frac{5 (x + 7)}{(x - 7) (x + 3) (x + 7)}$

Paso 4.4

Reordena los factores de $(x - 7) (x + 3) (x + 7)$ .

$\frac{8 x (x + 3)}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)} + \frac{5 (x + 7)}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{8 x (x + 3) + 5 (x + 7)}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 x \cdot x + 8 x \cdot 3 + 5 (x + 7)}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$

Paso 6.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{8 (x \cdot x) + 8 x \cdot 3 + 5 (x + 7)}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$

Paso 6.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{8 x^{2} + 8 x \cdot 3 + 5 (x + 7)}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$

Paso 6.3

Multiplica $3$ por $8$ .

$\frac{8 x^{2} + 24 x + 5 (x + 7)}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$

Paso 6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 x^{2} + 24 x + 5 x + 5 \cdot 7}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$

Paso 6.5

Multiplica $5$ por $7$ .

$\frac{8 x^{2} + 24 x + 5 x + 35}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$

Paso 6.6

Suma $24 x$ y $5 x$ .

$\frac{8 x^{2} + 29 x + 35}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$