Álgebra Ejemplos

$\frac{x}{x - 1} + \frac{1}{x^{2} - 4}$

Paso 1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{x}{x - 1} + \frac{1}{x^{2} - 2^{2}}$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{x}{x - 1} + \frac{1}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{x}{x - 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{x}{x - 1} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{1}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 3

Para escribir $\frac{1}{(x + 2) (x - 2)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x}{x - 1} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{1}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x - 1) (x + 2) (x - 2)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{x}{x - 1}$ por $\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{x ((x + 2) (x - 2))}{(x - 1) ((x + 2) (x - 2))} + \frac{1}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{1}{(x + 2) (x - 2)}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x ((x + 2) (x - 2))}{(x - 1) ((x + 2) (x - 2))} + \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2) (x - 1)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(x - 1) ((x + 2) (x - 2))$ .

$\frac{x ((x + 2) (x - 2))}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)} + \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2) (x - 1)}$

Paso 4.4

Reordena los factores de $(x + 2) (x - 2) (x - 1)$ .

$\frac{x ((x + 2) (x - 2))}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)} + \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x ((x + 2) (x - 2)) + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Expande $(x + 2) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x (x - 2) + 2 (x - 2)) + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Paso 6.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Paso 6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Paso 6.2

Combina los términos opuestos en $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Paso 6.2.1

Reordena los factores en los términos $x \cdot - 2$ y $2 x$ .

$\frac{x (x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Paso 6.2.2

Suma $- 2 x$ y $2 x$ .

$\frac{x (x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Paso 6.2.3

Suma $x \cdot x$ y $0$ .

$\frac{x (x \cdot x + 2 \cdot - 2) + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Paso 6.3

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x (x^{2} + 2 \cdot - 2) + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Paso 6.3.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{x (x^{2} - 4) + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Paso 6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 4 + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Paso 6.5

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.5.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 6.5.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{1} x^{2} + x \cdot - 4 + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Paso 6.5.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{1 + 2} + x \cdot - 4 + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Paso 6.5.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{x^{3} + x \cdot - 4 + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Paso 6.6

Mueve $- 4$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{x^{3} - 4 \cdot x + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Paso 6.7

Suma $- 4 x$ y $x$ .

$\frac{x^{3} - 3 x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$