Álgebra Ejemplos

$\tan^{5} (x) - 9 \tan (x) = 0$

Paso 1

Factoriza $\tan^{5} (x) - 9 \tan (x)$ .

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Paso 1.1

Factoriza $\tan (x)$ de $\tan^{5} (x) - 9 \tan (x)$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $\tan (x)$ de $\tan^{5} (x)$ .

$\tan (x) \tan^{4} (x) - 9 \tan (x) = 0$

Paso 1.1.2

Factoriza $\tan (x)$ de $- 9 \tan (x)$ .

$\tan (x) \tan^{4} (x) + \tan (x) \cdot - 9 = 0$

Paso 1.1.3

Factoriza $\tan (x)$ de $\tan (x) \tan^{4} (x) + \tan (x) \cdot - 9$ .

$\tan (x) (\tan^{4} (x) - 9) = 0$

Paso 1.2

Reescribe $\tan^{4} (x)$ como ${(\tan^{2} (x))}^{2}$ .

$\tan (x) ({(\tan^{2} (x))}^{2} - 9) = 0$

Paso 1.3

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\tan (x) ({(\tan^{2} (x))}^{2} - 3^{2}) = 0$

Paso 1.4

Factoriza.

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Paso 1.4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \tan^{2} (x)$ y $b = 3$ .

$\tan (x) ((\tan^{2} (x) + 3) (\tan^{2} (x) - 3)) = 0$

Paso 1.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\tan (x) (\tan^{2} (x) + 3) (\tan^{2} (x) - 3) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\tan (x) = 0$

$\tan^{2} (x) + 3 = 0$

$\tan^{2} (x) - 3 = 0$

Paso 3

Establece $\tan (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $\tan (x)$ igual a $0$ .

$\tan (x) = 0$

Paso 3.2

Resuelve $\tan (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (0)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

El valor exacto de $\arctan (0)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 3.2.3

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = π + 0$

Paso 3.2.4

Suma $π$ y $0$ .

$x = π$

Paso 3.2.5

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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Paso 3.2.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 3.2.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 3.2.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 3.2.5.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 3.2.6

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = π n, π + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4

Establece $\tan^{2} (x) + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $\tan^{2} (x) + 3$ igual a $0$ .

$\tan^{2} (x) + 3 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $\tan^{2} (x) + 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$\tan^{2} (x) = - 3$

Paso 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (x) = \pm \sqrt{- 3}$

Paso 4.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Paso 4.2.3.1

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$\tan (x) = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Paso 4.2.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$\tan (x) = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Paso 4.2.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$\tan (x) = \pm i \sqrt{3}$

Paso 4.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\tan (x) = i \sqrt{3}$

Paso 4.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\tan (x) = - i \sqrt{3}$

Paso 4.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\tan (x) = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Paso 4.2.5

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\tan (x) = i \sqrt{3}$

$\tan (x) = - i \sqrt{3}$

Paso 4.2.6

Resuelve $x$ en $\tan (x) = i \sqrt{3}$ .

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Paso 4.2.6.1

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (i \sqrt{3})$

Paso 4.2.6.2

La inversa de la tangente de $\arctan (i \sqrt{3})$ es indefinida.

Indefinida

Paso 4.2.7

Resuelve $x$ en $\tan (x) = - i \sqrt{3}$ .

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Paso 4.2.7.1

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (- i \sqrt{3})$

Paso 4.2.7.2

La inversa de la tangente de $\arctan (- i \sqrt{3})$ es indefinida.

Indefinida

Paso 4.2.8

Enumera todas las soluciones.

No hay solución

Paso 5

Establece $\tan^{2} (x) - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $\tan^{2} (x) - 3$ igual a $0$ .

$\tan^{2} (x) - 3 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $\tan^{2} (x) - 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$\tan^{2} (x) = 3$

Paso 5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (x) = \pm \sqrt{3}$

Paso 5.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.2.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\tan (x) = \sqrt{3}$

Paso 5.2.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

Paso 5.2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\tan (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Paso 5.2.4

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\tan (x) = \sqrt{3}$

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

Paso 5.2.5

Resuelve $x$ en $\tan (x) = \sqrt{3}$ .

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Paso 5.2.5.1

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (\sqrt{3})$

Paso 5.2.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.5.2.1

El valor exacto de $\arctan (\sqrt{3})$ es $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Paso 5.2.5.3

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = π + \frac{π}{3}$

Paso 5.2.5.4

Simplifica $π + \frac{π}{3}$ .

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Paso 5.2.5.4.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Paso 5.2.5.4.2

Combina fracciones.

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Paso 5.2.5.4.2.1

Combina $π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Paso 5.2.5.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Paso 5.2.5.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.5.4.3.1

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Paso 5.2.5.4.3.2

Suma $3 π$ y $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Paso 5.2.5.5

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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Paso 5.2.5.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 5.2.5.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 5.2.5.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 5.2.5.5.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 5.2.5.6

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5.2.6

Resuelve $x$ en $\tan (x) = - \sqrt{3}$ .

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Paso 5.2.6.1

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (- \sqrt{3})$

Paso 5.2.6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.6.2.1

El valor exacto de $\arctan (- \sqrt{3})$ es $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Paso 5.2.6.3

La función tangente es negativa en el segundo y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = - \frac{π}{3} - π$

Paso 5.2.6.4

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 5.2.6.4.1

Suma $2 π$ a $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

Paso 5.2.6.4.2

El ángulo resultante de $\frac{2 π}{3}$ es positivo y coterminal con $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Paso 5.2.6.5

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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Paso 5.2.6.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 5.2.6.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 5.2.6.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 5.2.6.5.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 5.2.6.6

Suma $π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 5.2.6.6.1

Suma $π$ y $- \frac{π}{3}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{3} + π$

Paso 5.2.6.6.2

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 5.2.6.6.3

Combina fracciones.

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Paso 5.2.6.6.3.1

Combina $π$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 5.2.6.6.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 5.2.6.6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.6.6.4.1

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

Paso 5.2.6.6.4.2

Resta $π$ de $3 π$ .

$\frac{2 π}{3}$

Paso 5.2.6.6.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{2 π}{3}$

Paso 5.2.6.7

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5.2.7

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5.2.8

Consolida las soluciones.

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Paso 5.2.8.1

Consolida $\frac{π}{3} + π n$ y $\frac{4 π}{3} + π n$ en $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5.2.8.2

Consolida $\frac{2 π}{3} + π n$ y $\frac{2 π}{3} + π n$ en $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $\tan (x) (\tan^{2} (x) + 3) (\tan^{2} (x) - 3) = 0$ verdadera.

$x = π n, π + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$