Álgebra Ejemplos

${(\frac{y^{2 x}}{y^{6}})}^{- 1} = {(y^{- 3})}^{4}$

Paso 1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln ({(\frac{y^{2 x}}{y^{6}})}^{- 1}) = \ln ({(y^{- 3})}^{4})$

Paso 2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Expande $\ln ({(\frac{y^{2 x}}{y^{6}})}^{- 1})$ ; para ello, mueve $- 1$ fuera del logaritmo.

$- \ln (\frac{y^{2 x}}{y^{6}}) = \ln ({(y^{- 3})}^{4})$

Paso 2.2

Reduce la expresión $\frac{y^{2 x}}{y^{6}}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 2.2.1

Factoriza $y^{6}$ de $y^{2 x}$ .

$- \ln (\frac{y^{6} y^{2 x - 6}}{y^{6}}) = \ln ({(y^{- 3})}^{4})$

Paso 2.2.2

Multiplica por $1$ .

$- \ln (\frac{y^{6} y^{2 x - 6}}{y^{6} \cdot 1}) = \ln ({(y^{- 3})}^{4})$

Paso 2.2.3

Cancela el factor común.

$- \ln (\frac{y^{6} y^{2 x - 6}}{y^{6} \cdot 1}) = \ln ({(y^{- 3})}^{4})$

Paso 2.2.4

Reescribe la expresión.

$- \ln (\frac{y^{2 x - 6}}{1}) = \ln ({(y^{- 3})}^{4})$

Paso 2.3

Divide $y^{2 x - 6}$ por $1$ .

$- \ln (y^{2 x - 6}) = \ln ({(y^{- 3})}^{4})$

Paso 2.4

Expande $\ln (y^{2 x - 6})$ ; para ello, mueve $2 x - 6$ fuera del logaritmo.

$- ((2 x - 6) \ln (y)) = \ln ({(y^{- 3})}^{4})$

Paso 3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1

Simplifica $- ((2 x - 6) \ln (y))$ .

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Paso 3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- (2 x \ln (y) - 6 \ln (y)) = \ln ({(y^{- 3})}^{4})$

Paso 3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- (2 x \ln (y)) - (- 6 \ln (y)) = \ln ({(y^{- 3})}^{4})$

Paso 3.1.3

Multiplica.

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Paso 3.1.3.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 (x \ln (y)) - (- 6 \ln (y)) = \ln ({(y^{- 3})}^{4})$

Paso 3.1.3.2

Multiplica $- 6$ por $- 1$ .

$- 2 x \ln (y) + 6 \ln (y) = \ln ({(y^{- 3})}^{4})$

Paso 4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1

Simplifica $\ln ({(y^{- 3})}^{4})$ .

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Paso 4.1.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{- 3})}^{4}$ .

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Paso 4.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 x \ln (y) + 6 \ln (y) = \ln (y^{- 3 \cdot 4})$

Paso 4.1.1.2

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$- 2 x \ln (y) + 6 \ln (y) = \ln (y^{- 12})$

Paso 4.1.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 x \ln (y) + 6 \ln (y) = \ln (\frac{1}{y^{12}})$

Paso 5

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$- 2 x \ln (y) + 6 \ln (y) - \ln (\frac{1}{y^{12}}) = 0$

Paso 6

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.1

Resta $6 \ln (y)$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x \ln (y) - \ln (\frac{1}{y^{12}}) = - 6 \ln (y)$

Paso 6.2

Suma $\ln (\frac{1}{y^{12}})$ a ambos lados de la ecuación.

$- 2 x \ln (y) = - 6 \ln (y) + \ln (\frac{1}{y^{12}})$

Paso 7

Divide cada término en $- 2 x \ln (y) = - 6 \ln (y) + \ln (\frac{1}{y^{12}})$ por $- 2 \ln (y)$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $- 2 x \ln (y) = - 6 \ln (y) + \ln (\frac{1}{y^{12}})$ por $- 2 \ln (y)$ .

$\frac{- 2 x \ln (y)}{- 2 \ln (y)} = \frac{- 6 \ln (y)}{- 2 \ln (y)} + \frac{\ln (\frac{1}{y^{12}})}{- 2 \ln (y)}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x \ln (y)}{- 2 \ln (y)} = \frac{- 6 \ln (y)}{- 2 \ln (y)} + \frac{\ln (\frac{1}{y^{12}})}{- 2 \ln (y)}$

Paso 7.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x \ln (y)}{\ln (y)} = \frac{- 6 \ln (y)}{- 2 \ln (y)} + \frac{\ln (\frac{1}{y^{12}})}{- 2 \ln (y)}$

Paso 7.2.2

Cancela el factor común de $\ln (y)$ .

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Paso 7.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (y)}{\ln (y)} = \frac{- 6 \ln (y)}{- 2 \ln (y)} + \frac{\ln (\frac{1}{y^{12}})}{- 2 \ln (y)}$

Paso 7.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 6 \ln (y)}{- 2 \ln (y)} + \frac{\ln (\frac{1}{y^{12}})}{- 2 \ln (y)}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.1.1

Cancela el factor común de $- 6$ y $- 2$ .

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Paso 7.3.1.1.1

Factoriza $- 2$ de $- 6 \ln (y)$ .

$x = \frac{- 2 (3 \ln (y))}{- 2 \ln (y)} + \frac{\ln (\frac{1}{y^{12}})}{- 2 \ln (y)}$

Paso 7.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.1.1.2.1

Factoriza $- 2$ de $- 2 \ln (y)$ .

$x = \frac{- 2 (3 \ln (y))}{- 2 \ln (y)} + \frac{\ln (\frac{1}{y^{12}})}{- 2 \ln (y)}$

Paso 7.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{- 2 (3 \ln (y))}{- 2 \ln (y)} + \frac{\ln (\frac{1}{y^{12}})}{- 2 \ln (y)}$

Paso 7.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{3 \ln (y)}{\ln (y)} + \frac{\ln (\frac{1}{y^{12}})}{- 2 \ln (y)}$

Paso 7.3.1.2

Cancela el factor común de $\ln (y)$ .

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Paso 7.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{3 \ln (y)}{\ln (y)} + \frac{\ln (\frac{1}{y^{12}})}{- 2 \ln (y)}$

Paso 7.3.1.2.2

Divide $3$ por $1$ .

$x = 3 + \frac{\ln (\frac{1}{y^{12}})}{- 2 \ln (y)}$

Paso 7.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = 3 - \frac{\ln (\frac{1}{y^{12}})}{2 \ln (y)}$