Álgebra Ejemplos

$\log_{4} (x^{2} - x) = 1 + \log_{4} (5)$

Paso 1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\log_{4} (x^{2} - x) - \log_{4} (5) = 1$

Paso 2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{4} (\frac{x^{2} - x}{5}) = 1$

Paso 3

Factoriza $x$ de $x^{2} - x$ .

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Paso 3.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\log_{4} (\frac{x \cdot x - x}{5}) = 1$

Paso 3.2

Factoriza $x$ de $- x$ .

$\log_{4} (\frac{x \cdot x + x \cdot - 1}{5}) = 1$

Paso 3.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$\log_{4} (\frac{x (x - 1)}{5}) = 1$

Paso 4

Reescribe $\log_{4} (\frac{x (x - 1)}{5}) = 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$4^{1} = \frac{x (x - 1)}{5}$

Paso 5

Resuelve $x$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $\frac{x (x - 1)}{5} = 4^{1}$ .

$\frac{x (x - 1)}{5} = 4$

Paso 5.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $5$ .

$5 \frac{x (x - 1)}{5} = 5 \cdot 4^{1}$

Paso 5.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 5.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.1.1

Simplifica $5 \frac{x (x - 1)}{5}$ .

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Paso 5.3.1.1.1

Simplifica los términos.

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Paso 5.3.1.1.1.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.3.1.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$5 \frac{x (x - 1)}{5} = 5 \cdot 4^{1}$

Paso 5.3.1.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x (x - 1) = 5 \cdot 4^{1}$

Paso 5.3.1.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 5 \cdot 4^{1}$

Paso 5.3.1.1.1.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.1.1.1.3.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 = 5 \cdot 4^{1}$

Paso 5.3.1.1.1.3.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x = 5 \cdot 4^{1}$

Paso 5.3.1.1.2

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$x^{2} - x = 5 \cdot 4^{1}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.1

Simplifica $5 \cdot 4^{1}$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Evalúa el exponente.

$x^{2} - x = 5 \cdot 4$

Paso 5.3.2.1.2

Multiplica $5$ por $4$ .

$x^{2} - x = 20$

Paso 5.4

Resta $20$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - x - 20 = 0$

Paso 5.5

Factoriza $x^{2} - x - 20$ con el método AC.

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Paso 5.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 20$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 5, 4$

Paso 5.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 5) (x + 4) = 0$

Paso 5.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

Paso 5.7

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.7.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 5.7.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 5.8

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.8.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 5.8.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 5.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 5) (x + 4) = 0$ verdadera.

$x = 5, - 4$