Álgebra Ejemplos

$\frac{3 x}{4 x^{2} + 4} - \frac{2 x^{2}}{x^{4} - 1}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Factoriza $4$ de $4 x^{2} + 4$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $4$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{3 x}{4 (x^{2}) + 4} - \frac{2 x^{2}}{x^{4} - 1}$

Paso 1.1.2

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{3 x}{4 (x^{2}) + 4 (1)} - \frac{2 x^{2}}{x^{4} - 1}$

Paso 1.1.3

Factoriza $4$ de $4 (x^{2}) + 4 (1)$ .

$\frac{3 x}{4 (x^{2} + 1)} - \frac{2 x^{2}}{x^{4} - 1}$

Paso 1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.1

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{3 x}{4 (x^{2} + 1)} - \frac{2 x^{2}}{{(x^{2})}^{2} - 1}$

Paso 1.2.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{3 x}{4 (x^{2} + 1)} - \frac{2 x^{2}}{{(x^{2})}^{2} - 1^{2}}$

Paso 1.2.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x^{2}$ y $b = 1$ .

$\frac{3 x}{4 (x^{2} + 1)} - \frac{2 x^{2}}{(x^{2} + 1) (x^{2} - 1)}$

Paso 1.2.4

Simplifica.

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Paso 1.2.4.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{3 x}{4 (x^{2} + 1)} - \frac{2 x^{2}}{(x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2})}$

Paso 1.2.4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{3 x}{4 (x^{2} + 1)} - \frac{2 x^{2}}{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{3 x}{4 (x^{2} + 1)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{3 x}{4 (x^{2} + 1)} \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{2 x^{2}}{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}$

Paso 3

Para escribir $- \frac{2 x^{2}}{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3 x}{4 (x^{2} + 1)} \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{2 x^{2}}{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $4 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{3 x}{4 (x^{2} + 1)}$ por $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{3 x ((x + 1) (x - 1))}{4 (x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1))} - \frac{2 x^{2}}{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{2 x^{2}}{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3 x ((x + 1) (x - 1))}{4 (x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1))} - \frac{2 x^{2} \cdot 4}{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) \cdot 4}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $4 (x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1))$ .

$\frac{3 x ((x + 1) (x - 1))}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)} - \frac{2 x^{2} \cdot 4}{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) \cdot 4}$

Paso 4.4

Reordena los factores de $(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) \cdot 4$ .

$\frac{3 x ((x + 1) (x - 1))}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)} - \frac{2 x^{2} \cdot 4}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 x ((x + 1) (x - 1)) - 2 x^{2} \cdot 4}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Factoriza $x$ de $3 x ((x + 1) (x - 1)) - 2 x^{2} \cdot 4$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $x$ de $3 x ((x + 1) (x - 1))$ .

$\frac{x (3 ((x + 1) (x - 1))) - 2 x^{2} \cdot 4}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

Paso 6.1.2

Factoriza $x$ de $- 2 x^{2} \cdot 4$ .

$\frac{x (3 ((x + 1) (x - 1))) + x (- 2 x \cdot 4)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

Paso 6.1.3

Factoriza $x$ de $x (3 ((x + 1) (x - 1))) + x (- 2 x \cdot 4)$ .

$\frac{x (3 ((x + 1) (x - 1)) - 2 x \cdot 4)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

Paso 6.2

Expande $(x + 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (3 (x (x - 1) + 1 (x - 1)) - 2 x \cdot 4)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

Paso 6.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (3 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) - 2 x \cdot 4)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

Paso 6.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (3 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) - 2 x \cdot 4)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

Paso 6.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x (3 (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) - 2 x \cdot 4)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

Paso 6.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{x (3 (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) - 2 x \cdot 4)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

Paso 6.3.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{x (3 (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) - 2 x \cdot 4)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

Paso 6.3.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{x (3 (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) - 2 x \cdot 4)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

Paso 6.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x (3 (x^{2} - x + x - 1) - 2 x \cdot 4)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

Paso 6.3.2

Suma $- x$ y $x$ .

$\frac{x (3 (x^{2} + 0 - 1) - 2 x \cdot 4)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

Paso 6.3.3

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$\frac{x (3 (x^{2} - 1) - 2 x \cdot 4)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

Paso 6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (3 x^{2} + 3 \cdot - 1 - 2 x \cdot 4)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

Paso 6.5

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{x (3 x^{2} - 3 - 2 x \cdot 4)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

Paso 6.6

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$\frac{x (3 x^{2} - 3 - 8 x)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

Paso 6.7

Reordena los términos.

$\frac{x (3 x^{2} - 8 x - 3)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

Paso 6.8

Factoriza por agrupación.

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Paso 6.8.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 3 = - 9$ y cuya suma es $b = - 8$ .

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Paso 6.8.1.1

Factoriza $- 8$ de $- 8 x$ .

$\frac{x (3 x^{2} - 8 (x) - 3)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

Paso 6.8.1.2

Reescribe $- 8$ como $1$ más $- 9$

$\frac{x (3 x^{2} + (1 - 9) x - 3)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

Paso 6.8.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (3 x^{2} + 1 x - 9 x - 3)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

Paso 6.8.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{x (3 x^{2} + x - 9 x - 3)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

Paso 6.8.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 6.8.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{x ((3 x^{2} + x) - 9 x - 3)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

Paso 6.8.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (x (3 x + 1) - 3 (3 x + 1))}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

Paso 6.8.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x + 1$ .

$\frac{x ((3 x + 1) (x - 3))}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

$\frac{x (3 x + 1) (x - 3)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$