Álgebra Ejemplos

$f (x) = - {(\frac{4}{3})}^{2 (x - 3)} + 1$

Paso 1

La función principal es la forma más simple del tipo de función dado.

$g (x) = {(\frac{4}{3})}^{x}$

Paso 2

La transformación de la primera ecuación a la segunda puede obtenerse mediante el cálculo de $a$ , $h$ y $k$ para cada ecuación.

$y = a b^{x - h} + k$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Simplifica los términos.

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Paso 3.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = - {(\frac{4}{3})}^{2 x + 2 \cdot - 3} + 1$

Paso 3.1.1.2

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$f (x) = - {(\frac{4}{3})}^{2 x - 6} + 1$

Paso 3.1.1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{4}{3}$ .

$f (x) = - \frac{4^{2 x - 6}}{3^{2 x - 6}} + 1$

Paso 3.1.2

Combina en una fracción.

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Paso 3.1.2.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f (x) = - \frac{4^{2 x - 6}}{3^{2 x - 6}} + \frac{3^{2 x - 6}}{3^{2 x - 6}}$

Paso 3.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (x) = \frac{- 4^{2 x - 6} + 3^{2 x - 6}}{3^{2 x - 6}}$

Paso 3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.1

Reescribe $3^{2 x - 6}$ como ${(3^{x - 3})}^{2}$ .

$f (x) = \frac{- 4^{2 x - 6} + {(3^{x - 3})}^{2}}{3^{2 x - 6}}$

Paso 3.2.2

Reescribe $4^{2 x - 6}$ como ${(4^{x - 3})}^{2}$ .

$f (x) = \frac{- {(4^{x - 3})}^{2} + {(3^{x - 3})}^{2}}{3^{2 x - 6}}$

Paso 3.2.3

Reordena $- {(4^{x - 3})}^{2}$ y ${(3^{x - 3})}^{2}$ .

$f (x) = \frac{{(3^{x - 3})}^{2} - {(4^{x - 3})}^{2}}{3^{2 x - 6}}$

Paso 3.2.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 3^{x - 3}$ y $b = 4^{x - 3}$ .

$f (x) = \frac{(3^{x - 3} + 4^{x - 3}) (3^{x - 3} - 4^{x - 3})}{3^{2 x - 6}}$

Paso 4

Obtén $a$ , $h$ y $k$ para $g (x) = {(\frac{4}{3})}^{x}$ .

$a = 1$

$h = 0$

$k = 0$

Paso 5

Obtén $a$ , $h$ y $k$ para $f (x) = - {(\frac{4}{3})}^{2 (x - 3)} + 1$ .

$a = - 1$

$h = 3$

$k = 1$

Paso 6

El cambio horizontal depende del valor de $h$ . Este se describe de la siguiente manera:

$f (x) = f (x + h)$ : La gráfica se desplaza hacia la izquierda $h$ unidades.

$f (x) = f (x - h)$ : La gráfica se desplaza hacia la derecha $h$ unidades.

Desplazamiento horizontal: unidades $3$ a la derecha

Paso 7

El desplazamiento vertical depende del valor de $k$ . Este se describe de la siguiente manera:

$f (x) = f (x) + k$ : La gráfica se desplaza hacia arriba $k$ unidades.

$f (x) = f (x) - k$ - The graph is shifted down $k$ units.

Desplazamiento vertical: arriba $1$ unidades

Paso 8

El signo de $a$ describe el reflejo en el eje x. $- a$ significa que la gráfica se refleja en el eje x.

Reflejo en el eje x: se refleja

Paso 9

El valor de $a$ describe la expansión vertical o la compresión de la gráfica.

$a > 1$ es una expansión vertical (lo hace más estrecho)

$0 < a < 1$ es una compresión vertical (la hace más ancha)

Compresión o expansión vertical: ninguna

Paso 10

Para obtener la transformación, compara las dos funciones y comprueba si hay un desplazamiento horizontal o vertical, reflejo en el eje x, y expansión vertical.

Función principal: $g (x) = {(\frac{4}{3})}^{x}$

Desplazamiento horizontal: unidades $3$ a la derecha

Desplazamiento vertical: arriba $1$ unidades

Reflejo en el eje x: se refleja

Compresión o expansión vertical: ninguna

Paso 11