Álgebra Ejemplos

$- w^{2} + 14 w - 24 > 0$

Paso 1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$- w^{2} + 14 w - 24 = 0$

Paso 2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Factoriza $- 1$ de $- w^{2} + 14 w - 24$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $- 1$ de $- w^{2}$ .

$- (w^{2}) + 14 w - 24 = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $- 1$ de $14 w$ .

$- (w^{2}) - (- 14 w) - 24 = 0$

Paso 2.1.3

Reescribe $- 24$ como $- 1 (24)$ .

$- (w^{2}) - (- 14 w) - 1 \cdot 24 = 0$

Paso 2.1.4

Factoriza $- 1$ de $- (w^{2}) - (- 14 w)$ .

$- (w^{2} - 14 w) - 1 \cdot 24 = 0$

Paso 2.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (w^{2} - 14 w) - 1 (24)$ .

$- (w^{2} - 14 w + 24) = 0$

Paso 2.2

Factoriza.

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Paso 2.2.1

Factoriza $w^{2} - 14 w + 24$ con el método AC.

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Paso 2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $24$ y cuya suma es $- 14$ .

$- 12, - 2$

Paso 2.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- ((w - 12) (w - 2)) = 0$

Paso 2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (w - 12) (w - 2) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$w - 12 = 0$

$w - 2 = 0$

Paso 4

Establece $w - 12$ igual a $0$ y resuelve $w$ .

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Paso 4.1

Establece $w - 12$ igual a $0$ .

$w - 12 = 0$

Paso 4.2

Suma $12$ a ambos lados de la ecuación.

$w = 12$

Paso 5

Establece $w - 2$ igual a $0$ y resuelve $w$ .

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Paso 5.1

Establece $w - 2$ igual a $0$ .

$w - 2 = 0$

Paso 5.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$w = 2$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (w - 12) (w - 2) = 0$ verdadera.

$w = 12, 2$

Paso 7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$w < 2$

$2 < w < 12$

$w > 12$

Paso 8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 8.1

Prueba un valor en el intervalo $w < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.1.1

Elije un valor en el intervalo $w < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$w = 0$

Paso 8.1.2

Reemplaza $w$ con $0$ en la desigualdad original.

$- {(0)}^{2} + 14 (0) - 24 > 0$

Paso 8.1.3

$- 24$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 8.2

Prueba un valor en el intervalo $2 < w < 12$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.2.1

Elije un valor en el intervalo $2 < w < 12$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$w = 7$

Paso 8.2.2

Reemplaza $w$ con $7$ en la desigualdad original.

$- {(7)}^{2} + 14 (7) - 24 > 0$

Paso 8.2.3

$25$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 8.3

Prueba un valor en el intervalo $w > 12$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.3.1

Elije un valor en el intervalo $w > 12$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$w = 14$

Paso 8.3.2

Reemplaza $w$ con $14$ en la desigualdad original.

$- {(14)}^{2} + 14 (14) - 24 > 0$

Paso 8.3.3

$- 24$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$w < 2$ Falso

$2 < w < 12$ Verdadero

$w > 12$ Falso

$w < 2$ Falso

$2 < w < 12$ Verdadero

$w > 12$ Falso

Paso 9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$2 < w < 12$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$2 < w < 12$

Notación de intervalo:

$(2, 12)$

Paso 11