Álgebra Ejemplos

$\log_{9} (4 x - 5) < \log_{9} (- 2 x + 1)$

Paso 1

Convierte la desigualdad a una igualdad.

$\log_{9} (4 x - 5) = \log_{9} (- 2 x + 1)$

Paso 2

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.1

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$4 x - 5 = - 2 x + 1$

Paso 2.2

Resuelve $x$

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Paso 2.2.1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1.1

Suma $2 x$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x - 5 + 2 x = 1$

Paso 2.2.1.2

Suma $4 x$ y $2 x$ .

$6 x - 5 = 1$

Paso 2.2.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.2.2.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$6 x = 1 + 5$

Paso 2.2.2.2

Suma $1$ y $5$ .

$6 x = 6$

Paso 2.2.3

Divide cada término en $6 x = 6$ por $6$ y simplifica.

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Paso 2.2.3.1

Divide cada término en $6 x = 6$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{6}{6}$

Paso 2.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.3.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 2.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 x}{6} = \frac{6}{6}$

Paso 2.2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{6}{6}$

Paso 2.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.3.1

Divide $6$ por $6$ .

$x = 1$

Paso 3

Obtén el dominio de $\log_{9} (\frac{4 x - 5}{- 2 x + 1})$ .

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Paso 3.1

Establece el argumento en $\log_{9} (\frac{4 x - 5}{- 2 x + 1})$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\frac{4 x - 5}{- 2 x + 1} > 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$4 x - 5 = 0$

$- 2 x + 1 = 0$

Paso 3.2.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x = 5$

Paso 3.2.3

Divide cada término en $4 x = 5$ por $4$ y simplifica.

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Paso 3.2.3.1

Divide cada término en $4 x = 5$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Paso 3.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Paso 3.2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{5}{4}$

Paso 3.2.4

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x = - 1$

Paso 3.2.5

Divide cada término en $- 2 x = - 1$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 3.2.5.1

Divide cada término en $- 2 x = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 3.2.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.5.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 3.2.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 3.2.5.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 3.2.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.5.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{1}{2}$

Paso 3.2.6

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = \frac{5}{4}$

$x = \frac{1}{2}$

Paso 3.2.7

Consolida las soluciones.

$x = \frac{5}{4}, \frac{1}{2}$

Paso 3.2.8

Obtén el dominio de $\frac{4 x - 5}{- 2 x + 1}$ .

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Paso 3.2.8.1

Establece el denominador en $\frac{4 x - 5}{- 2 x + 1}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$- 2 x + 1 = 0$

Paso 3.2.8.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.8.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x = - 1$

Paso 3.2.8.2.2

Divide cada término en $- 2 x = - 1$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 3.2.8.2.2.1

Divide cada término en $- 2 x = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 3.2.8.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.8.2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 3.2.8.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 3.2.8.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 3.2.8.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.8.2.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{1}{2}$

Paso 3.2.8.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Paso 3.2.9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < \frac{5}{4}$

$x > \frac{5}{4}$

Paso 3.2.10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 3.2.10.1

Prueba un valor en el intervalo $x < \frac{1}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.2.10.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < \frac{1}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 3.2.10.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{4 (0) - 5}{- 2 \cdot 0 + 1} > 0$

Paso 3.2.10.1.3

$- 5$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 3.2.10.2

Prueba un valor en el intervalo $\frac{1}{2} < x < \frac{5}{4}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.2.10.2.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{1}{2} < x < \frac{5}{4}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1$

Paso 3.2.10.2.2

Reemplaza $x$ con $1$ en la desigualdad original.

$\frac{4 (1) - 5}{- 2 \cdot 1 + 1} > 0$

Paso 3.2.10.2.3

$1$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 3.2.10.3

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{5}{4}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.2.10.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{5}{4}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 3.2.10.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{4 (4) - 5}{- 2 \cdot 4 + 1} > 0$

Paso 3.2.10.3.3

$- 1.\overline{571428}$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 3.2.10.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < \frac{1}{2}$ Falso

$\frac{1}{2} < x < \frac{5}{4}$ Verdadero

$x > \frac{5}{4}$ Falso

$x < \frac{1}{2}$ Falso

$\frac{1}{2} < x < \frac{5}{4}$ Verdadero

$x > \frac{5}{4}$ Falso

Paso 3.2.11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$\frac{1}{2} < x < \frac{5}{4}$

Paso 3.3

Establece el denominador en $\frac{4 x - 5}{- 2 x + 1}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$- 2 x + 1 = 0$

Paso 3.4

Resuelve $x$

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Paso 3.4.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x = - 1$

Paso 3.4.2

Divide cada término en $- 2 x = - 1$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 3.4.2.1

Divide cada término en $- 2 x = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 3.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 3.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 3.4.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 3.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{1}{2}$

Paso 3.5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(\frac{1}{2}, \frac{5}{4})$

Paso 4

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 1$

$1 < x < \frac{5}{4}$

$x > \frac{5}{4}$

Paso 5

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 5.1

Prueba un valor en el intervalo $x < \frac{1}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < \frac{1}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 5.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\log_{9} (4 (0) - 5) < \log_{9} (- 2 \cdot 0 + 1)$

Paso 5.1.3

Determina si la desigualdad es verdadera.

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Paso 5.1.3.1

La ecuación no puede resolverse porque es indefinida.

$Indefinida$

Paso 5.1.3.2

El lado izquierdo no tiene solución, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 5.2

Prueba un valor en el intervalo $\frac{1}{2} < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.2.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{1}{2} < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0.75$

Paso 5.2.2

Reemplaza $x$ con $0.75$ en la desigualdad original.

$\log_{9} (4 (0.75) - 5) < \log_{9} (- 2 \cdot 0.75 + 1)$

Paso 5.2.3

Determina si la desigualdad es verdadera.

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Paso 5.2.3.1

La ecuación no puede resolverse porque es indefinida.

$Indefinida$

Paso 5.2.3.2

El lado izquierdo no tiene solución, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 5.3

Prueba un valor en el intervalo $1 < x < \frac{5}{4}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.3.1

Elije un valor en el intervalo $1 < x < \frac{5}{4}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1.12$

Paso 5.3.2

Reemplaza $x$ con $1.12$ en la desigualdad original.

$\log_{9} (4 (1.12) - 5) < \log_{9} (- 2 \cdot 1.12 + 1)$

Paso 5.3.3

Determina si la desigualdad es verdadera.

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Paso 5.3.3.1

La ecuación no puede resolverse porque es indefinida.

$Indefinida$

Paso 5.3.3.2

El lado izquierdo no tiene solución, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 5.4

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{5}{4}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{5}{4}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 5.4.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\log_{9} (4 (4) - 5) < \log_{9} (- 2 \cdot 4 + 1)$

Paso 5.4.3

Determina si la desigualdad es verdadera.

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Paso 5.4.3.1

La ecuación no puede resolverse porque es indefinida.

$Indefinida$

Paso 5.4.3.2

El lado derecho no tiene solución, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 5.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < \frac{1}{2}$ Falso

$\frac{1}{2} < x < 1$ Falso

$1 < x < \frac{5}{4}$ Falso

$x > \frac{5}{4}$ Falso

$x < \frac{1}{2}$ Falso

$\frac{1}{2} < x < 1$ Falso

$1 < x < \frac{5}{4}$ Falso

$x > \frac{5}{4}$ Falso

Paso 6

Como no hay números que estén dentro del intervalo, esta desigualdad no tiene solución.

No hay solución