Álgebra Ejemplos

$2 \sqrt{3 x + 6} - 8 \leq 4$

Paso 1

Mueve todos los términos que no contengan $2 \sqrt{3 x + 6}$ al lado derecho de la desigualdad.

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Paso 1.1

Suma $8$ a ambos lados de la desigualdad.

$2 \sqrt{3 x + 6} \leq 4 + 8$

Paso 1.2

Suma $4$ y $8$ .

$2 \sqrt{3 x + 6} \leq 12$

Paso 2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${(2 \sqrt{3 x + 6})}^{2} \leq 12^{2}$

Paso 3

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 x + 6}$ como ${(3 x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(3 x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 12^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica ${(2 {(3 x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 {(3 x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(3 x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 12^{2}$

Paso 3.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 {({(3 x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 12^{2}$

Paso 3.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(3 x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(3 x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 12^{2}$

Paso 3.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$4 {(3 x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 12^{2}$

Paso 3.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$4 {(3 x + 6)}^{1} \leq 12^{2}$

Paso 3.2.1.4

Simplifica.

$4 (3 x + 6) \leq 12^{2}$

Paso 3.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (3 x) + 4 \cdot 6 \leq 12^{2}$

Paso 3.2.1.6

Multiplica.

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Paso 3.2.1.6.1

Multiplica $3$ por $4$ .

$12 x + 4 \cdot 6 \leq 12^{2}$

Paso 3.2.1.6.2

Multiplica $4$ por $6$ .

$12 x + 24 \leq 12^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$12 x + 24 \leq 144$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la desigualdad.

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Paso 4.1.1

Resta $24$ de ambos lados de la desigualdad.

$12 x \leq 144 - 24$

Paso 4.1.2

Resta $24$ de $144$ .

$12 x \leq 120$

Paso 4.2

Divide cada término en $12 x \leq 120$ por $12$ y simplifica.

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Paso 4.2.1

Divide cada término en $12 x \leq 120$ por $12$ .

$\frac{12 x}{12} \leq \frac{120}{12}$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.1

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{12 x}{12} \leq \frac{120}{12}$

Paso 4.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{120}{12}$

Paso 4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.1

Divide $120$ por $12$ .

$x \leq 10$

Paso 5

Obtén el dominio de $2 \sqrt{3 (x + 2)} - 12$ .

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Paso 5.1

Establece el radicando en $\sqrt{3 (x + 2)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$3 (x + 2) \geq 0$

Paso 5.2

Resuelve $x$

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $3 (x + 2) \geq 0$ por $3$ y simplifica.

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Paso 5.2.1.1

Divide cada término en $3 (x + 2) \geq 0$ por $3$ .

$\frac{3 (x + 2)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Paso 5.2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (x + 2)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Paso 5.2.1.2.1.2

Divide $x + 2$ por $1$ .

$x + 2 \geq \frac{0}{3}$

Paso 5.2.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1.3.1

Divide $0$ por $3$ .

$x + 2 \geq 0$

Paso 5.2.2

Resta $2$ de ambos lados de la desigualdad.

$x \geq - 2$

Paso 5.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[- 2, \infty)$

Paso 6

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 2$

$- 2 < x < 10$

$x > 10$

Paso 7

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 7.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 7.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$2 \sqrt{3 (- 4) + 6} - 8 \leq 4$

Paso 7.1.3

El lado izquierdo no es igual al lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 7.2

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < x < 10$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < x < 10$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 7.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$2 \sqrt{3 (0) + 6} - 8 \leq 4$

Paso 7.2.3

$- 3.10102051$ del lado izquierdo es menor que $4$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 7.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 10$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 10$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 12$

Paso 7.3.2

Reemplaza $x$ con $12$ en la desigualdad original.

$2 \sqrt{3 (12) + 6} - 8 \leq 4$

Paso 7.3.3

$4.96148139$ del lado izquierdo es mayor que $4$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 7.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 10$ Verdadero

$x > 10$ Falso

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 10$ Verdadero

$x > 10$ Falso

Paso 8

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 2 \leq x \leq 10$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- 2 \leq x \leq 10$

Notación de intervalo:

$[- 2, 10]$

Paso 10