Álgebra Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{2} {(x - 1)}^{3}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{1}{2} {(x - 1)}^{3}$ como una ecuación.

$y = \frac{1}{2} {(x - 1)}^{3}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{3}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{3} = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{3} = x$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{3}) = 2 x$

Paso 3.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{3})$ .

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Paso 3.3.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(y - 1)}^{3}$ .

$2 \frac{{(y - 1)}^{3}}{2} = 2 x$

Paso 3.3.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{{(y - 1)}^{3}}{2} = 2 x$

Paso 3.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(y - 1)}^{3} = 2 x$

Paso 3.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y - 1 = \sqrt[3]{2 x}$

Paso 3.5

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \sqrt[3]{2 x} + 1$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x} + 1$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x} + 1$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = \sqrt[3]{2 (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3})} + 1$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = \sqrt[3]{\frac{2}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}} + 1$

Paso 5.2.3.2

Combina $\frac{2}{2}$ y ${(x - 1)}^{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = \sqrt[3]{\frac{2 {(x - 1)}^{3}}{2}} + 1$

Paso 5.2.3.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.3.3.1

Reduce la expresión $\frac{2 {(x - 1)}^{3}}{2}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.3.3.1.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = \sqrt[3]{\frac{2 {(x - 1)}^{3}}{2}} + 1$

Paso 5.2.3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = \sqrt[3]{\frac{{(x - 1)}^{3}}{1}} + 1$

Paso 5.2.3.3.2

Divide ${(x - 1)}^{3}$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = \sqrt[3]{{(x - 1)}^{3}} + 1$

Paso 5.2.3.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = x - 1 + 1$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $x - 1 + 1$ .

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Paso 5.2.4.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = x + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\sqrt[3]{2 x} + 1)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot {((\sqrt[3]{2 x} + 1) - 1)}^{3}$

Paso 5.3.3

Combina los términos opuestos en $(\sqrt[3]{2 x} + 1) - 1$ .

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Paso 5.3.3.1

Resta $1$ de $1$ .

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot {(\sqrt[3]{2 x} + 0)}^{3}$

Paso 5.3.3.2

Suma $\sqrt[3]{2 x}$ y $0$ .

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot {\sqrt[3]{2 x}}^{3}$

Paso 5.3.4

Reescribe ${\sqrt[3]{2 x}}^{3}$ como $2 x$ .

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Paso 5.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{2 x}$ como ${(2 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot {({(2 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Paso 5.3.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot {(2 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Paso 5.3.4.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot {(2 x)}^{\frac{3}{3}}$

Paso 5.3.4.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.4.4.1

Cancela el factor común.

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot {(2 x)}^{\frac{3}{3}}$

Paso 5.3.4.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Paso 5.3.4.5

Simplifica.

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Paso 5.3.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.5.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x))$

Paso 5.3.5.2

Cancela el factor común.

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Paso 5.3.5.3

Reescribe la expresión.

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x} + 1$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x} + 1$