Álgebra Ejemplos

$6 \sqrt{8 x - 32} - 13 \leq 11$

Paso 1

Mueve todos los términos que no contengan $6 \sqrt{8 x - 32}$ al lado derecho de la desigualdad.

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Paso 1.1

Suma $13$ a ambos lados de la desigualdad.

$6 \sqrt{8 x - 32} \leq 11 + 13$

Paso 1.2

Suma $11$ y $13$ .

$6 \sqrt{8 x - 32} \leq 24$

Paso 2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${(6 \sqrt{8 x - 32})}^{2} \leq 24^{2}$

Paso 3

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{8 x - 32}$ como ${(8 x - 32)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(6 {(8 x - 32)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 24^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica ${(6 {(8 x - 32)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $6 {(8 x - 32)}^{\frac{1}{2}}$ .

$6^{2} {({(8 x - 32)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 24^{2}$

Paso 3.2.1.2

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$36 {({(8 x - 32)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 24^{2}$

Paso 3.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(8 x - 32)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$36 {(8 x - 32)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 24^{2}$

Paso 3.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$36 {(8 x - 32)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 24^{2}$

Paso 3.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$36 {(8 x - 32)}^{1} \leq 24^{2}$

Paso 3.2.1.4

Simplifica.

$36 (8 x - 32) \leq 24^{2}$

Paso 3.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$36 (8 x) + 36 \cdot - 32 \leq 24^{2}$

Paso 3.2.1.6

Multiplica.

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Paso 3.2.1.6.1

Multiplica $8$ por $36$ .

$288 x + 36 \cdot - 32 \leq 24^{2}$

Paso 3.2.1.6.2

Multiplica $36$ por $- 32$ .

$288 x - 1152 \leq 24^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Eleva $24$ a la potencia de $2$ .

$288 x - 1152 \leq 576$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la desigualdad.

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Paso 4.1.1

Suma $1152$ a ambos lados de la desigualdad.

$288 x \leq 576 + 1152$

Paso 4.1.2

Suma $576$ y $1152$ .

$288 x \leq 1728$

Paso 4.2

Divide cada término en $288 x \leq 1728$ por $288$ y simplifica.

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Paso 4.2.1

Divide cada término en $288 x \leq 1728$ por $288$ .

$\frac{288 x}{288} \leq \frac{1728}{288}$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.1

Cancela el factor común de $288$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{288 x}{288} \leq \frac{1728}{288}$

Paso 4.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{1728}{288}$

Paso 4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.1

Divide $1728$ por $288$ .

$x \leq 6$

Paso 5

Obtén el dominio de $12 \sqrt{2 (x - 4)} - 24$ .

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Paso 5.1

Establece el radicando en $\sqrt{2 (x - 4)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$2 (x - 4) \geq 0$

Paso 5.2

Resuelve $x$

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $2 (x - 4) \geq 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 5.2.1.1

Divide cada término en $2 (x - 4) \geq 0$ por $2$ .

$\frac{2 (x - 4)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Paso 5.2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (x - 4)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Paso 5.2.1.2.1.2

Divide $x - 4$ por $1$ .

$x - 4 \geq \frac{0}{2}$

Paso 5.2.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$x - 4 \geq 0$

Paso 5.2.2

Suma $4$ a ambos lados de la desigualdad.

$x \geq 4$

Paso 5.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[4, \infty)$

Paso 6

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 4$

$4 < x < 6$

$x > 6$

Paso 7

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 7.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 7.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$6 \sqrt{8 (0) - 32} - 13 \leq 11$

Paso 7.1.3

El lado izquierdo no es igual al lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 7.2

Prueba un valor en el intervalo $4 < x < 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.2.1

Elije un valor en el intervalo $4 < x < 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 5$

Paso 7.2.2

Reemplaza $x$ con $5$ en la desigualdad original.

$6 \sqrt{8 (5) - 32} - 13 \leq 11$

Paso 7.2.3

$3.97056274$ del lado izquierdo es menor que $11$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 7.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 7.3.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

$6 \sqrt{8 (8) - 32} - 13 \leq 11$

Paso 7.3.3

$20.94112549$ del lado izquierdo es mayor que $11$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 7.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 4$ Falso

$4 < x < 6$ Verdadero

$x > 6$ Falso

$x < 4$ Falso

$4 < x < 6$ Verdadero

$x > 6$ Falso

Paso 8

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$4 \leq x \leq 6$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$4 \leq x \leq 6$

Notación de intervalo:

$[4, 6]$

Paso 10