Álgebra Ejemplos

$(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{2} - \sqrt{3})$

Paso 1

Expande $(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{2} - \sqrt{3})$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2} + 1 (- \sqrt{3}) + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$1 + 1 \sqrt{2} + 1 (- \sqrt{3}) + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Paso 2.1.2

Multiplica $\sqrt{2}$ por $1$ .

$1 + \sqrt{2} + 1 (- \sqrt{3}) + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Paso 2.1.3

Multiplica $- \sqrt{3}$ por $1$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Paso 2.1.4

Multiplica $\sqrt{2}$ por $1$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Paso 2.1.5

Combina con la regla del producto para radicales.

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Paso 2.1.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{4} + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Paso 2.1.7

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}} + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Paso 2.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Paso 2.1.9

Multiplica $\sqrt{2} (- \sqrt{3})$ .

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Paso 2.1.9.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{2 \cdot 3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Paso 2.1.9.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Paso 2.1.10

Multiplica $\sqrt{3}$ por $1$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Paso 2.1.11

Combina con la regla del producto para radicales.

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Paso 2.1.12

Multiplica $3$ por $2$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Paso 2.1.13

Multiplica $\sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Paso 2.1.13.1

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})$

Paso 2.1.13.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})$

Paso 2.1.13.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - {\sqrt{3}}^{1 + 1}$

Paso 2.1.13.4

Suma $1$ y $1$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - {\sqrt{3}}^{2}$

Paso 2.1.14

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 2.1.14.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 2.1.14.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 2.1.14.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - 3^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.1.14.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.14.4.1

Cancela el factor común.

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - 3^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.1.14.4.2

Reescribe la expresión.

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - 3^{1}$

Paso 2.1.14.5

Evalúa el exponente.

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - 1 \cdot 3$

Paso 2.1.15

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - 3$

Paso 2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.2.1

Suma $1$ y $2$ .

$3 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - 3$

Paso 2.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 2.2.2.1

Resta $3$ de $3$ .

$0 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6}$

Paso 2.2.2.2

Suma $0$ y $\sqrt{2}$ .

$\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6}$

Paso 2.2.3

Suma $\sqrt{2}$ y $\sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6}$

Paso 2.2.4

Suma $- \sqrt{3}$ y $\sqrt{3}$ .

$2 \sqrt{2} + 0 - \sqrt{6} + \sqrt{6}$

Paso 2.2.5

Suma $2 \sqrt{2}$ y $0$ .

$2 \sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{6}$

Paso 2.2.6

Suma $- \sqrt{6}$ y $\sqrt{6}$ .

$2 \sqrt{2} + 0$

Paso 2.2.7

Suma $2 \sqrt{2}$ y $0$ .

$2 \sqrt{2}$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$2 \sqrt{2}$

Forma decimal:

$2.82842712 \dots$