Álgebra Ejemplos

$\log (x + 2) + \log (x - 2) = 1 - \log (2)$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x + 2) (x - 2)) = 1 - \log (2)$

Paso 1.2

Expande $(x + 2) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (x (x - 2) + 2 (x - 2)) = 1 - \log (2)$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) = 1 - \log (2)$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) = 1 - \log (2)$

Paso 1.3

Simplifica los términos.

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Paso 1.3.1

Combina los términos opuestos en $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Paso 1.3.1.1

Reordena los factores en los términos $x \cdot - 2$ y $2 x$ .

$\log (x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) = 1 - \log (2)$

Paso 1.3.1.2

Suma $- 2 x$ y $2 x$ .

$\log (x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) = 1 - \log (2)$

Paso 1.3.1.3

Suma $x \cdot x$ y $0$ .

$\log (x \cdot x + 2 \cdot - 2) = 1 - \log (2)$

Paso 1.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.2.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\log (x^{2} + 2 \cdot - 2) = 1 - \log (2)$

Paso 1.3.2.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\log (x^{2} - 4) = 1 - \log (2)$

Paso 2

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\log (x^{2} - 4) + \log (2) = 1$

Paso 3

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x^{2} - 4) \cdot 2) = 1$

Paso 4

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (x^{2} \cdot 2 - 4 \cdot 2) = 1$

Paso 5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\log (2 \cdot x^{2} - 4 \cdot 2) = 1$

Paso 5.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$\log (2 x^{2} - 8) = 1$

Paso 6

Reescribe $\log (2 x^{2} - 8) = 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{1} = 2 x^{2} - 8$

Paso 7

Resuelve $x$

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Paso 7.1

Reescribe la ecuación como $2 x^{2} - 8 = 10^{1}$ .

$2 x^{2} - 8 = 10$

Paso 7.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 7.2.1

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} = 10 + 8$

Paso 7.2.2

Suma $10$ y $8$ .

$2 x^{2} = 18$

Paso 7.3

Divide cada término en $2 x^{2} = 18$ por $2$ y simplifica.

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Paso 7.3.1

Divide cada término en $2 x^{2} = 18$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{18}{2}$

Paso 7.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{18}{2}$

Paso 7.3.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{18}{2}$

Paso 7.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.3.1

Divide $18$ por $2$ .

$x^{2} = 9$

Paso 7.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{9}$

Paso 7.5

Simplifica $\pm \sqrt{9}$ .

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Paso 7.5.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Paso 7.5.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 3$

Paso 7.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 7.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 3$

Paso 7.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 3$

Paso 7.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 3, - 3$

Paso 8

Excluye las soluciones que no hagan que $\log (x + 2) + \log (x - 2) = 1 - \log (2)$ sea verdadera.

$x = 3$