Álgebra Ejemplos

$x^{2} + (y - {(\frac{4}{x})}^{2}) \cdot 2 = 1$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y - \frac{32}{x^{2}} = 1 - x^{2}$

Paso 1.1.2

Suma $\frac{32}{x^{2}}$ a ambos lados de la ecuación.

$2 y = 1 - x^{2} + \frac{32}{x^{2}}$

Paso 1.2

Divide cada término en $2 y = 1 - x^{2} + \frac{32}{x^{2}}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $2 y = 1 - x^{2} + \frac{32}{x^{2}}$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2} + \frac{- x^{2}}{2} + \frac{\frac{32}{x^{2}}}{2}$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2} + \frac{- x^{2}}{2} + \frac{\frac{32}{x^{2}}}{2}$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{- x^{2}}{2} + \frac{\frac{32}{x^{2}}}{2}$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{\frac{32}{x^{2}}}{2}$

Paso 1.2.3.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{32}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 1.2.3.1.3

Combinar.

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{32 \cdot 1}{x^{2} \cdot 2}$

Paso 1.2.3.1.4

Cancela el factor común de $32$ y $2$ .

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Paso 1.2.3.1.4.1

Factoriza $2$ de $32 \cdot 1$ .

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (16 \cdot 1)}{x^{2} \cdot 2}$

Paso 1.2.3.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $x^{2} \cdot 2$ .

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (16 \cdot 1)}{2 \cdot x^{2}}$

Paso 1.2.3.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (16 \cdot 1)}{2 \cdot x^{2}}$

Paso 1.2.3.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{16 \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 1.2.3.1.5

Multiplica $16$ por $1$ .

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{16}{x^{2}}$

Paso 2

Obtén dónde la expresión $\frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{16}{x^{2}}$ no está definida.

$x = 0$

Paso 3

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 4

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 4$

$m = 2$

Paso 5

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 6

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 6.1

Combinar.

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Paso 6.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 - x^{2}}{2} + \frac{16}{x^{2}}$

Paso 6.1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - x^{2}}{2} + \frac{16}{x^{2}}$

Paso 6.1.2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{2} + \frac{16}{x^{2}}$

Paso 6.1.3

Para escribir $\frac{(1 + x) (1 - x)}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{2} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{16}{x^{2}}$

Paso 6.1.4

Para escribir $\frac{16}{x^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{2} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{16}{x^{2}} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 6.1.5

Escribe cada expresión con un denominador común de $2 x^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.1.5.1

Multiplica $\frac{(1 + x) (1 - x)}{2}$ por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x) x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{16}{x^{2}} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 6.1.5.2

Multiplica $\frac{16}{x^{2}}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x) x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{16 \cdot 2}{x^{2} \cdot 2}$

Paso 6.1.5.3

Reordena los factores de $x^{2} \cdot 2$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x) x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Paso 6.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(1 + x) (1 - x) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Paso 6.1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.7.1

Expande $(1 + x) (1 - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.1.7.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(1 (1 - x) + x (1 - x)) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Paso 6.1.7.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Paso 6.1.7.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Paso 6.1.7.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.1.7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.7.2.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{(1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Paso 6.1.7.2.1.2

Multiplica $- x$ por $1$ .

$\frac{(1 - x + x \cdot 1 + x (- x)) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Paso 6.1.7.2.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{(1 - x + x + x (- x)) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Paso 6.1.7.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{(1 - x + x - x \cdot x) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Paso 6.1.7.2.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.7.2.1.5.1

Mueve $x$ .

$\frac{(1 - x + x - (x \cdot x)) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Paso 6.1.7.2.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{(1 - x + x - x^{2}) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Paso 6.1.7.2.2

Suma $- x$ y $x$ .

$\frac{(1 + 0 - x^{2}) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Paso 6.1.7.2.3

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(1 - x^{2}) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Paso 6.1.7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 x^{2} - x^{2} x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Paso 6.1.7.4

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - x^{2} x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Paso 6.1.7.5

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.7.5.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - (x^{2} x^{2}) + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Paso 6.1.7.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{2} - x^{2 + 2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Paso 6.1.7.5.3

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{x^{2} - x^{4} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Paso 6.1.7.6

Multiplica $16$ por $2$ .

$\frac{x^{2} - x^{4} + 32}{2 x^{2}}$

Paso 6.1.7.7

Reordena los términos.

$\frac{- x^{4} + x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

Paso 6.1.8

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 6.1.8.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{4}$ .

$\frac{- (x^{4}) + x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

Paso 6.1.8.2

Factoriza $- 1$ de $x^{2}$ .

$\frac{- (x^{4}) - 1 (- x^{2}) + 32}{2 x^{2}}$

Paso 6.1.8.3

Factoriza $- 1$ de $- (x^{4}) - 1 (- x^{2})$ .

$\frac{- (x^{4} - x^{2}) + 32}{2 x^{2}}$

Paso 6.1.8.4

Reescribe $32$ como $- 1 (- 32)$ .

$\frac{- (x^{4} - x^{2}) - 1 (- 32)}{2 x^{2}}$

Paso 6.1.8.5

Factoriza $- 1$ de $- (x^{4} - x^{2}) - 1 (- 32)$ .

$\frac{- (x^{4} - x^{2} - 32)}{2 x^{2}}$

Paso 6.1.8.6

Simplifica la expresión.

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Paso 6.1.8.6.1

Reescribe $- (x^{4} - x^{2} - 32)$ como $- 1 (x^{4} - x^{2} - 32)$ .

$\frac{- 1 (x^{4} - x^{2} - 32)}{2 x^{2}}$

Paso 6.1.8.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x^{4} - x^{2} - 32}{2 x^{2}}$

Paso 6.1.9

Simplifica.

$\frac{- x^{4} + x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{4}$ .

$\frac{- (x^{4}) + x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

Paso 6.2.2

Factoriza $- 1$ de $x^{2}$ .

$\frac{- (x^{4}) - 1 (- x^{2}) + 32}{2 x^{2}}$

Paso 6.2.3

Factoriza $- 1$ de $- (x^{4}) - 1 (- x^{2})$ .

$\frac{- (x^{4} - x^{2}) + 32}{2 x^{2}}$

Paso 6.2.4

Reescribe $32$ como $- 1 (- 32)$ .

$\frac{- (x^{4} - x^{2}) - 1 (- 32)}{2 x^{2}}$

Paso 6.2.5

Factoriza $- 1$ de $- (x^{4} - x^{2}) - 1 (- 32)$ .

$\frac{- (x^{4} - x^{2} - 32)}{2 x^{2}}$

Paso 6.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.6.1

Reescribe $- (x^{4} - x^{2} - 32)$ como $- 1 (x^{4} - x^{2} - 32)$ .

$\frac{- 1 (x^{4} - x^{2} - 32)}{2 x^{2}}$

Paso 6.2.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x^{4} - x^{2} - 32}{2 x^{2}}$

Paso 6.3

Expande $- (x^{4} - x^{2} - 32)$ .

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Paso 6.3.1

Haz que $x^{4} - x^{2} - 32$ sea negativo.

$\frac{- (x^{4} - x^{2} - 32)}{2 x^{2}}$

Paso 6.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- (x^{4} - x^{2}) + 32}{2 x^{2}}$

Paso 6.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x^{4} + x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

Paso 6.3.4

Mueve los paréntesis.

$\frac{- x^{4} + 1 x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

Paso 6.3.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{4} + 1 x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

Paso 6.3.6

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{- x^{4} + x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

Paso 6.3.7

Multiplica $- 1$ por $- 32$ .

$\frac{- x^{4} + x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

Paso 6.4

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

Paso 6.5

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- x^{4}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

Paso 6.6

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

Paso 6.7

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- x^{4} + 0 + 0$ .

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

Paso 6.8

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

Paso 6.9

Retira el próximo término del dividendo original hacia el dividendo actual.

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

Paso 6.10

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2}$

$0 x$

$\frac{1}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

Paso 6.11

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$\frac{x^{2}}{2}$

$0 x$

$\frac{1}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{2}$

$0$

Paso 6.12

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{2} + 0 + 0$ .

$\frac{x^{2}}{2}$

$0 x$

$\frac{1}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{2}$

$0$

Paso 6.13

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$\frac{x^{2}}{2}$

$0 x$

$\frac{1}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{2}$

$0$

$32$

Paso 6.14

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$- \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{32}{2 x^{2}}$

Paso 6.15

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 7

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = 0$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 8