Álgebra Ejemplos

$3 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})) \cdot 5 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Paso 1

Simplifica los términos.

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})) \cdot (5 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4})))$

Paso 1.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (5 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4})))$

Paso 1.1.3

Combina $i$ y $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot (5 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4})))$

Paso 1.2

Simplifica los términos.

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(3 (\frac{1}{2}) + 3 \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot (5 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4})))$

Paso 1.2.2

Combina $3$ y $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{3}{2} + 3 \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot (5 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4})))$

Paso 1.2.3

Combina $3$ y $\frac{i \sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{3}{2} + \frac{3 (i \sqrt{3})}{2}) \cdot (5 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4})))$

Paso 1.3

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{3}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2}) \cdot (5 (\frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (\frac{π}{4})))$

Paso 1.3.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{3}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2}) \cdot (5 (\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}))$

Paso 1.3.3

Combina $i$ y $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{3}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2}) \cdot (5 (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{i \sqrt{2}}{2}))$

Paso 1.4

Simplifica los términos.

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Paso 1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(\frac{3}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2}) \cdot (5 \frac{\sqrt{2}}{2} + 5 \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Paso 1.4.2

Combina $5$ y $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{3}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2}) \cdot (\frac{5 \sqrt{2}}{2} + 5 \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Paso 1.4.3

Combina $5$ y $\frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{3}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2}) \cdot (\frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{5 (i \sqrt{2})}{2})$

Paso 2

Expande $(\frac{3}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2}) (\frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{5 i \sqrt{2}}{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3}{2} (\frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{5 i \sqrt{2}}{2}) + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} (\frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{5 i \sqrt{2}}{2})$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} (\frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{5 i \sqrt{2}}{2})$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2}$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica $\frac{3}{2} \cdot \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 3.1.1.1

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 (5 \sqrt{2})}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2}$

Paso 3.1.1.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2}$

Paso 3.1.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2}$

Paso 3.1.2

Multiplica $\frac{3}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 3.1.2.1

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{5 i \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{3 (5 i \sqrt{2})}{2 \cdot 2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2}$

Paso 3.1.2.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 (i \sqrt{2})}{2 \cdot 2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2}$

Paso 3.1.2.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 (i \sqrt{2})}{4} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2}$

Paso 3.1.3

Multiplica $\frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 3.1.3.1

Multiplica $\frac{3 i \sqrt{3}}{2}$ por $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{3} (5 \sqrt{2})}{2 \cdot 2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2}$

Paso 3.1.3.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2}$

Paso 3.1.3.3

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2}$

Paso 3.1.3.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2}$

Paso 3.1.3.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2}$

Paso 3.1.4

Multiplica $\frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 3.1.4.1

Multiplica $\frac{3 i \sqrt{3}}{2}$ por $\frac{5 i \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{3 i \sqrt{3} (5 i \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.4.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{15 i \sqrt{3} (i \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.4.3

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{15 (i^{1} i) \sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.4.4

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{15 (i^{1} i^{1}) \sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{15 i^{1 + 1} \sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{15 i^{2} \sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.4.7

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{15 i^{2} \sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.4.8

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{15 i^{2} \sqrt{6}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.4.9

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{15 i^{2} \sqrt{6}}{4}$

Paso 3.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.5.1

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{15 \cdot - 1 \sqrt{6}}{4}$

Paso 3.1.5.2

Combina exponentes.

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Paso 3.1.5.2.1

Factoriza el negativo.

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{- (15 \sqrt{6})}{4}$

Paso 3.1.5.2.2

Multiplica $15$ por $- 1$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{- 15 \sqrt{6}}{4}$

Paso 3.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} - \frac{15 \sqrt{6}}{4}$

Paso 3.2

Reordena $\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4}$ y $- \frac{15 \sqrt{6}}{4}$ .

$- \frac{15 \sqrt{6}}{4} + \frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4}$