Álgebra Ejemplos

$f (x) = {(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 1

Escribe $f (x) = {(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ como una ecuación.

$y = {(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = {(3 y + 1)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como ${(3 y + 1)}^{\frac{1}{3}} = x$ .

${(3 y + 1)}^{\frac{1}{3}} = x$

Paso 3.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${({(3 y + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

Paso 3.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1

Simplifica ${({(3 y + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.3.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(3 y + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 y + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Paso 3.3.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(3 y + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Paso 3.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(3 y + 1)}^{1} = x^{3}$

Paso 3.3.1.2

Simplifica.

$3 y + 1 = x^{3}$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$3 y = x^{3} - 1$

Paso 3.4.2

Divide cada término en $3 y = x^{3} - 1$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.4.2.1

Divide cada término en $3 y = x^{3} - 1$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{3}}{3} + \frac{- 1}{3}$

Paso 3.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{3}}{3} + \frac{- 1}{3}$

Paso 3.4.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{- 1}{3}$

Paso 3.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}$ es la inversa de $f (x) = {(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} ({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{{({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}$

Paso 5.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} ({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{{({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} - 1}{3}$

Paso 5.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.4.1

Multiplica los exponentes en ${({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 5.2.4.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{{(3 x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 1}{3}$

Paso 5.2.4.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.4.1.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} ({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{{(3 x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 1}{3}$

Paso 5.2.4.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} ({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{(3 x + 1) - 1}{3}$

Paso 5.2.4.2

Simplifica.

$f^{- 1} ({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{3 x + 1 - 1}{3}$

Paso 5.2.5

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.5.1

Combina los términos opuestos en $3 x + 1 - 1$ .

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Paso 5.2.5.1.1

Resta $1$ de $1$ .

$f^{- 1} ({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{3 x + 0}{3}$

Paso 5.2.5.1.2

Suma $3 x$ y $0$ .

$f^{- 1} ({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{3 x}{3}$

Paso 5.2.5.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.5.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} ({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{3 x}{3}$

Paso 5.2.5.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} ({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}) = {(3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}) + 1)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}) = {(3 (\frac{x^{3}}{3}) + 3 (- \frac{1}{3}) + 1)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 5.3.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}) = {(3 (\frac{x^{3}}{3}) + 3 (- \frac{1}{3}) + 1)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 5.3.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}) = {(x^{3} + 3 (- \frac{1}{3}) + 1)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 5.3.3.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.3.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{3}$ al numerador.

$f (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}) = {(x^{3} + 3 (\frac{- 1}{3}) + 1)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 5.3.3.3.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}) = {(x^{3} + 3 (\frac{- 1}{3}) + 1)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 5.3.3.3.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}) = {(x^{3} - 1 + 1)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 5.3.4

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 5.3.4.1

Combina los términos opuestos en $x^{3} - 1 + 1$ .

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Paso 5.3.4.1.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$f (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}) = {(x^{3} + 0)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 5.3.4.1.2

Suma $x^{3}$ y $0$ .

$f (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}) = {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 5.3.4.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 5.3.4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}) = x^{3 (\frac{1}{3})}$

Paso 5.3.4.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}) = x^{3 (\frac{1}{3})}$

Paso 5.3.4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}$ es la inversa de $f (x) = {(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}$