Álgebra Ejemplos

$\sqrt{x^{2} - 4 x + 4}$

Paso 1

Establece el radicando en $\sqrt{x^{2} - 4 x + 4}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x^{2} - 4 x + 4 \geq 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{2} - 4 x + 4 = 0$

Paso 2.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x^{2} - 4 x + 2^{2} = 0$

Paso 2.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Paso 2.2.3

Reescribe el polinomio.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Paso 2.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 2.3

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 2.4

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 2.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 2$

$x > 2$

Paso 2.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 2.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 2.6.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

${(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 4 \geq 0$

Paso 2.6.1.3

$4$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 2.6.2

Prueba un valor en el intervalo $x > 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $x > 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 2.6.2.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

${(4)}^{2} - 4 \cdot 4 + 4 \geq 0$

Paso 2.6.2.3

$4$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 2.6.3

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 2$ Verdadero

$x > 2$ Verdadero

$x < 2$ Verdadero

$x > 2$ Verdadero

Paso 2.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq 2$ o $x \geq 2$

Paso 2.8

Combina los intervalos.

Todos los números reales

Paso 3

El dominio son todos números reales.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 4

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | y \in ℝ}$

Paso 5

Determina el dominio y el rango.

Dominio: $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

Rango: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Paso 6