Álgebra Ejemplos

$\sqrt{x^{2} - 4 x + 4} > 0$

Paso 1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${\sqrt{x^{2} - 4 x + 4}}^{2} > 0^{2}$

Paso 2

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} - 4 x + 4}$ como ${(x^{2} - 4 x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} - 4 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${({(x^{2} - 4 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} - 4 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 4 x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(x^{2} - 4 x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(x^{2} - 4 x + 4)}^{1} > 0^{2}$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

$x^{2} - 4 x + 4 > 0^{2}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x^{2} - 4 x + 4 > 0$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{2} - 4 x + 4 = 0$

Paso 3.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 3.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x^{2} - 4 x + 2^{2} = 0$

Paso 3.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Paso 3.2.3

Reescribe el polinomio.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Paso 3.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 3.3

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 3.4

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 4

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 2$

$x > 2$

Paso 5

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 5.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 5.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\sqrt{{(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 4} > 0$

Paso 5.1.3

$2$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 5.2

Prueba un valor en el intervalo $x > 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.2.1

Elije un valor en el intervalo $x > 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 5.2.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\sqrt{{(4)}^{2} - 4 \cdot 4 + 4} > 0$

Paso 5.2.3

$2$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 5.3

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 2$ Verdadero

$x > 2$ Verdadero

$x < 2$ Verdadero

$x > 2$ Verdadero

Paso 6

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < 2$ o $x > 2$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x < 2 or x > 2$

Notación de intervalo:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 8