Álgebra Ejemplos

$y = 2 x^{4} + 8 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 6$

Paso 1

Obtén las intersecciones con x.

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Paso 1.1

Para obtener la(s) intersección(es) con x, sustituye $0$ por $y$ y resuelve para $x$ .

$0 = 2 x^{4} + 8 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 6$

Paso 1.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 1.2.1

Reescribe la ecuación como $2 x^{4} + 8 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 6 = 0$ .

$2 x^{4} + 8 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 6 = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 x^{4} + 8 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 6$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Factoriza $2$ de $2 x^{4}$ .

$2 (x^{4}) + 8 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 6 = 0$

Paso 1.2.2.1.2

Factoriza $2$ de $8 x^{3}$ .

$2 (x^{4}) + 2 (4 x^{3}) + 4 x^{2} - 8 x - 6 = 0$

Paso 1.2.2.1.3

Factoriza $2$ de $4 x^{2}$ .

$2 (x^{4}) + 2 (4 x^{3}) + 2 (2 x^{2}) - 8 x - 6 = 0$

Paso 1.2.2.1.4

Factoriza $2$ de $- 8 x$ .

$2 (x^{4}) + 2 (4 x^{3}) + 2 (2 x^{2}) + 2 (- 4 x) - 6 = 0$

Paso 1.2.2.1.5

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$2 x^{4} + 2 (4 x^{3}) + 2 (2 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 \cdot - 3 = 0$

Paso 1.2.2.1.6

Factoriza $2$ de $2 x^{4} + 2 (4 x^{3})$ .

$2 (x^{4} + 4 x^{3}) + 2 (2 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 \cdot - 3 = 0$

Paso 1.2.2.1.7

Factoriza $2$ de $2 (x^{4} + 4 x^{3}) + 2 (2 x^{2})$ .

$2 (x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 \cdot - 3 = 0$

Paso 1.2.2.1.8

Factoriza $2$ de $2 (x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2}) + 2 (- 4 x)$ .

$2 (x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x) + 2 \cdot - 3 = 0$

Paso 1.2.2.1.9

Factoriza $2$ de $2 (x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x) + 2 \cdot - 3$ .

$2 (x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 3) = 0$

Paso 1.2.2.2

Reagrupa los términos.

$2 (4 x^{3} - 4 x + x^{4} + 2 x^{2} - 3) = 0$

Paso 1.2.2.3

Factoriza $4 x$ de $4 x^{3} - 4 x$ .

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Paso 1.2.2.3.1

Factoriza $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$2 (4 x (x^{2}) - 4 x + x^{4} + 2 x^{2} - 3) = 0$

Paso 1.2.2.3.2

Factoriza $4 x$ de $- 4 x$ .

$2 (4 x (x^{2}) + 4 x (- 1) + x^{4} + 2 x^{2} - 3) = 0$

Paso 1.2.2.3.3

Factoriza $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 1)$ .

$2 (4 x (x^{2} - 1) + x^{4} + 2 x^{2} - 3) = 0$

Paso 1.2.2.4

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$2 (4 x (x^{2} - 1^{2}) + x^{4} + 2 x^{2} - 3) = 0$

Paso 1.2.2.5

Factoriza.

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Paso 1.2.2.5.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$2 (4 x ((x + 1) (x - 1)) + x^{4} + 2 x^{2} - 3) = 0$

Paso 1.2.2.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (4 x (x + 1) (x - 1) + x^{4} + 2 x^{2} - 3) = 0$

Paso 1.2.2.6

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$2 (4 x (x + 1) (x - 1) + {(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} - 3) = 0$

Paso 1.2.2.7

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$2 (4 x (x + 1) (x - 1) + u^{2} + 2 u - 3) = 0$

Paso 1.2.2.8

Factoriza $u^{2} + 2 u - 3$ con el método AC.

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Paso 1.2.2.8.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 3$ y cuya suma es $2$ .

$- 1, 3$

Paso 1.2.2.8.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$2 (4 x (x + 1) (x - 1) + (u - 1) (u + 3)) = 0$

Paso 1.2.2.9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$2 (4 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 1) (x^{2} + 3)) = 0$

Paso 1.2.2.10

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$2 (4 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 3)) = 0$

Paso 1.2.2.11

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$2 (4 x (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)) = 0$

Paso 1.2.2.12

Factoriza $(x + 1) (x - 1)$ de $4 x (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)$ .

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Paso 1.2.2.12.1

Factoriza $(x + 1) (x - 1)$ de $4 x (x + 1) (x - 1)$ .

$2 ((x + 1) (x - 1) (4 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)) = 0$

Paso 1.2.2.12.2

Factoriza $(x + 1) (x - 1)$ de $(x + 1) (x - 1) (4 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)$ .

$2 ((x + 1) (x - 1) (4 x + x^{2} + 3)) = 0$

Paso 1.2.2.13

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$2 ((x + 1) (x - 1) (4 u + u^{2} + 3)) = 0$

Paso 1.2.2.14

Factoriza $4 u + u^{2} + 3$ con el método AC.

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Paso 1.2.2.14.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $3$ y cuya suma es $4$ .

$1, 3$

Paso 1.2.2.14.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$2 ((x + 1) (x - 1) ((u + 1) (u + 3))) = 0$

Paso 1.2.2.15

Factoriza.

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Paso 1.2.2.15.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$2 ((x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x + 3))) = 0$

Paso 1.2.2.15.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 ((x + 1) (x - 1) (x + 1) (x + 3)) = 0$

Paso 1.2.2.16

Factoriza.

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Paso 1.2.2.16.1

Combina exponentes.

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Paso 1.2.2.16.1.1

Eleva $x + 1$ a la potencia de $1$ .

$2 ((x + 1) (x + 1) (x - 1) (x + 3)) = 0$

Paso 1.2.2.16.1.2

Eleva $x + 1$ a la potencia de $1$ .

$2 ((x + 1) (x + 1) (x - 1) (x + 3)) = 0$

Paso 1.2.2.16.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 ({(x + 1)}^{1 + 1} (x - 1) (x + 3)) = 0$

Paso 1.2.2.16.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$2 ({(x + 1)}^{2} (x - 1) (x + 3)) = 0$

Paso 1.2.2.16.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) (x + 3) = 0$

Paso 1.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Paso 1.2.4

Establece ${(x + 1)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.4.1

Establece ${(x + 1)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Paso 1.2.4.2

Resuelve ${(x + 1)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.4.2.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 1.2.4.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 1.2.5

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.5.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 1.2.5.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 1.2.6

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.6.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 1.2.6.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 1.2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) (x + 3) = 0$ verdadera.

$x = - 1, 1, - 3$

Paso 1.3

Intersección(es) con x en forma de punto.

Intersección(es) con x: $(- 1, 0), (1, 0), (- 3, 0)$

Paso 2

Obtén las intersecciones con y.

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Paso 2.1

Para obtener la(s) intersección(es) con y, sustituye $0$ por $x$ y resuelve para $y$ .

$y = 2 {(0)}^{4} + 8 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 6$

Paso 2.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 2 \cdot 0^{4} + 8 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 6$

Paso 2.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = 2 \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0^{3} + 4 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 6$

Paso 2.2.3

Elimina los paréntesis.

$y = 2 \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0^{3} + 4 \cdot 0^{2} - 8 \cdot 0 - 6$

Paso 2.2.4

Elimina los paréntesis.

$y = 2 {(0)}^{4} + 8 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 6$

Paso 2.2.5

Simplifica $2 {(0)}^{4} + 8 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 6$ .

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Paso 2.2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.5.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = 2 \cdot 0 + 8 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 6$

Paso 2.2.5.1.2

Multiplica $2$ por $0$ .

$y = 0 + 8 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 6$

Paso 2.2.5.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = 0 + 8 \cdot 0 + 4 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 6$

Paso 2.2.5.1.4

Multiplica $8$ por $0$ .

$y = 0 + 0 + 4 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 6$

Paso 2.2.5.1.5

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = 0 + 0 + 4 \cdot 0 - 8 \cdot 0 - 6$

Paso 2.2.5.1.6

Multiplica $4$ por $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 8 \cdot 0 - 6$

Paso 2.2.5.1.7

Multiplica $- 8$ por $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 0 - 6$

Paso 2.2.5.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.2.5.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 6$

Paso 2.2.5.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$y = 0 + 0 - 6$

Paso 2.2.5.2.3

Suma $0$ y $0$ .

$y = 0 - 6$

Paso 2.2.5.2.4

Resta $6$ de $0$ .

$y = - 6$

Paso 2.3

Intersección(es) con y en forma de punto.

Intersección(es) con y: $(0, - 6)$

Paso 3

Enumera las intersecciones.

Intersección(es) con x: $(- 1, 0), (1, 0), (- 3, 0)$

Intersección(es) con y: $(0, - 6)$

Paso 4