Álgebra Ejemplos

$2 | x - 1 | - x^{2} + 2 x + 7 = 0$

Paso 1

Mueve todos los términos que no contengan $| x - 1 |$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1

Suma $x^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$2 | x - 1 | + 2 x + 7 = x^{2}$

Paso 1.2

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 | x - 1 | + 7 = x^{2} - 2 x$

Paso 1.3

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$2 | x - 1 | = x^{2} - 2 x - 7$

Paso 2

Divide cada término en $2 | x - 1 | = x^{2} - 2 x - 7$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.1

Divide cada término en $2 | x - 1 | = x^{2} - 2 x - 7$ por $2$ .

$\frac{2 | x - 1 |}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 2 x}{2} + \frac{- 7}{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 | x - 1 |}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 2 x}{2} + \frac{- 7}{2}$

Paso 2.2.1.2

Divide $| x - 1 |$ por $1$ .

$| x - 1 | = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 2 x}{2} + \frac{- 7}{2}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$| x - 1 | = \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (- x)}{2} + \frac{- 7}{2}$

Paso 2.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$| x - 1 | = \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (- x)}{2 (1)} + \frac{- 7}{2}$

Paso 2.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$| x - 1 | = \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} + \frac{- 7}{2}$

Paso 2.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$| x - 1 | = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- x}{1} + \frac{- 7}{2}$

Paso 2.3.1.1.2.4

Divide $- x$ por $1$ .

$| x - 1 | = \frac{x^{2}}{2} - x + \frac{- 7}{2}$

Paso 2.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$| x - 1 | = \frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2}$

Paso 3

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$x - 1 = \pm (\frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2})$

Paso 4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x - 1 = \frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2}$

Paso 4.2

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$\frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2} = x - 1$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2} - x = - 1$

Paso 4.3.2

Resta $x$ de $- x$ .

$\frac{x^{2}}{2} - 2 x - \frac{7}{2} = - 1$

Paso 4.4

Multiplica cada término en $\frac{x^{2}}{2} - 2 x - \frac{7}{2} = - 1$ por $2$ para eliminar las fracciones.

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Paso 4.4.1

Multiplica cada término en $\frac{x^{2}}{2} - 2 x - \frac{7}{2} = - 1$ por $2$ .

$\frac{x^{2}}{2} \cdot 2 - 2 x \cdot 2 - \frac{7}{2} \cdot 2 = - 1 \cdot 2$

Paso 4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.4.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.4.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2}}{2} \cdot 2 - 2 x \cdot 2 - \frac{7}{2} \cdot 2 = - 1 \cdot 2$

Paso 4.4.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} - 2 x \cdot 2 - \frac{7}{2} \cdot 2 = - 1 \cdot 2$

Paso 4.4.2.1.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$x^{2} - 4 x - \frac{7}{2} \cdot 2 = - 1 \cdot 2$

Paso 4.4.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.4.2.1.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{7}{2}$ al numerador.

$x^{2} - 4 x + \frac{- 7}{2} \cdot 2 = - 1 \cdot 2$

Paso 4.4.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$x^{2} - 4 x + \frac{- 7}{2} \cdot 2 = - 1 \cdot 2$

Paso 4.4.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} - 4 x - 7 = - 1 \cdot 2$

Paso 4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.4.3.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x^{2} - 4 x - 7 = - 2$

Paso 4.5

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 4 x - 7 + 2 = 0$

Paso 4.6

Suma $- 7$ y $2$ .

$x^{2} - 4 x - 5 = 0$

Paso 4.7

Factoriza $x^{2} - 4 x - 5$ con el método AC.

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Paso 4.7.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 5$ y cuya suma es $- 4$ .

$- 5, 1$

Paso 4.7.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 5) (x + 1) = 0$

Paso 4.8

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 4.9

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.9.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 4.9.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 4.10

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.10.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 4.10.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 4.11

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 5) (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 5, - 1$

Paso 4.12

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x - 1 = - (\frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2})$

Paso 4.13

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$- (\frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2}) = x - 1$

Paso 4.14

Simplifica $- (\frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2})$ .

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Paso 4.14.1

Reescribe.

$0 + 0 - (\frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2}) = x - 1$

Paso 4.14.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$- (\frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2}) = x - 1$

Paso 4.14.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{x^{2}}{2} - - x - - \frac{7}{2} = x - 1$

Paso 4.14.4

Simplifica.

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Paso 4.14.4.1

Multiplica $- - x$ .

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Paso 4.14.4.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{x^{2}}{2} + 1 x - - \frac{7}{2} = x - 1$

Paso 4.14.4.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$- \frac{x^{2}}{2} + x - - \frac{7}{2} = x - 1$

Paso 4.14.4.2

Multiplica $- - \frac{7}{2}$ .

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Paso 4.14.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{x^{2}}{2} + x + 1 (\frac{7}{2}) = x - 1$

Paso 4.14.4.2.2

Multiplica $\frac{7}{2}$ por $1$ .

$- \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{7}{2} = x - 1$

Paso 4.15

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.15.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{7}{2} - x = - 1$

Paso 4.15.2

Combina los términos opuestos en $- \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{7}{2} - x$ .

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Paso 4.15.2.1

Resta $x$ de $x$ .

$- \frac{x^{2}}{2} + 0 + \frac{7}{2} = - 1$

Paso 4.15.2.2

Suma $- \frac{x^{2}}{2}$ y $0$ .

$- \frac{x^{2}}{2} + \frac{7}{2} = - 1$

Paso 4.16

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.16.1

Resta $\frac{7}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{x^{2}}{2} = - 1 - \frac{7}{2}$

Paso 4.16.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{x^{2}}{2} = - 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{7}{2}$

Paso 4.16.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{x^{2}}{2} = \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{7}{2}$

Paso 4.16.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{x^{2}}{2} = \frac{- 1 \cdot 2 - 7}{2}$

Paso 4.16.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.16.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{x^{2}}{2} = \frac{- 2 - 7}{2}$

Paso 4.16.5.2

Resta $7$ de $- 2$ .

$- \frac{x^{2}}{2} = \frac{- 9}{2}$

Paso 4.16.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x^{2}}{2} = - \frac{9}{2}$

Paso 4.17

Como la expresión en cada lado de la ecuación tiene el mismo denominador, los numeradores deben ser iguales.

$- x^{2} = - 9$

Paso 4.18

Divide cada término en $- x^{2} = - 9$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 4.18.1

Divide cada término en $- x^{2} = - 9$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

Paso 4.18.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.18.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

Paso 4.18.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 9}{- 1}$

Paso 4.18.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.18.3.1

Divide $- 9$ por $- 1$ .

$x^{2} = 9$

Paso 4.19

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{9}$

Paso 4.20

Simplifica $\pm \sqrt{9}$ .

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Paso 4.20.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Paso 4.20.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 3$

Paso 4.21

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.21.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 3$

Paso 4.21.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 3$

Paso 4.21.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 3, - 3$

Paso 4.22

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 5, - 1, 3, - 3$

Paso 5

Excluye las soluciones que no hagan que $2 | x - 1 | - x^{2} + 2 x + 7 = 0$ sea verdadera.

$x = 5, - 3$