Álgebra Ejemplos

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{{(\sqrt{x})}^{3} + 8} \cdot (\frac{x - 2 \sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 2})$

Paso 1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{{\sqrt{x}}^{3} + 2^{3}} \cdot \frac{x - 2 \sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 2}$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = \sqrt{x}$ y $b = 2$ .

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{(\sqrt{x} + 2) ({\sqrt{x}}^{2} - \sqrt{x} \cdot 2 + 2^{2})} \cdot \frac{x - 2 \sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 2}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Reescribe ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Paso 1.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{(\sqrt{x} + 2) ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{x} \cdot 2 + 2^{2})} \cdot \frac{x - 2 \sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 2}$

Paso 1.3.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{(\sqrt{x} + 2) (x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{x} \cdot 2 + 2^{2})} \cdot \frac{x - 2 \sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 2}$

Paso 1.3.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{(\sqrt{x} + 2) (x^{\frac{2}{2}} - \sqrt{x} \cdot 2 + 2^{2})} \cdot \frac{x - 2 \sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 2}$

Paso 1.3.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.3.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{(\sqrt{x} + 2) (x^{\frac{2}{2}} - \sqrt{x} \cdot 2 + 2^{2})} \cdot \frac{x - 2 \sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 2}$

Paso 1.3.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{(\sqrt{x} + 2) (x^{1} - \sqrt{x} \cdot 2 + 2^{2})} \cdot \frac{x - 2 \sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 2}$

Paso 1.3.1.5

Simplifica.

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{(\sqrt{x} + 2) (x - \sqrt{x} \cdot 2 + 2^{2})} \cdot \frac{x - 2 \sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 2}$

Paso 1.3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{(\sqrt{x} + 2) (x - 2 \sqrt{x} + 2^{2})} \cdot \frac{x - 2 \sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 2}$

Paso 1.3.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{(\sqrt{x} + 2) (x - 2 \sqrt{x} + 4)} \cdot \frac{x - 2 \sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 2}$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Cancela el factor común de $x - 2 \sqrt{x} + 4$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $x - 2 \sqrt{x} + 4$ de $(\sqrt{x} + 2) (x - 2 \sqrt{x} + 4)$ .

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{(x - 2 \sqrt{x} + 4) (\sqrt{x} + 2)} \cdot \frac{x - 2 \sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 2}$

Paso 2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{(x - 2 \sqrt{x} + 4) (\sqrt{x} + 2)} \cdot \frac{x - 2 \sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 2}$

Paso 2.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{\sqrt{x} + 2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x} - 2}$

Paso 2.2

Multiplica $\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{\sqrt{x} + 2}$ por $\frac{1}{\sqrt{x} - 2}$ .

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)}$

Paso 3

Expande $(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 2) + 2 (\sqrt{x} - 2)}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{\sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot - 2 + 2 (\sqrt{x} - 2)}$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{\sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot - 2 + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 2}$

Paso 4

Simplifica los términos.

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Paso 4.1

Combina los términos opuestos en $\sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot - 2 + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 2$ .

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Paso 4.1.1

Reordena los factores en los términos $\sqrt{x} \cdot - 2$ y $2 \sqrt{x}$ .

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{\sqrt{x} \sqrt{x} - 2 \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 2}$

Paso 4.1.2

Suma $- 2 \sqrt{x}$ y $2 \sqrt{x}$ .

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{\sqrt{x} \sqrt{x} + 0 + 2 \cdot - 2}$

Paso 4.1.3

Suma $\sqrt{x} \sqrt{x}$ y $0$ .

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{\sqrt{x} \sqrt{x} + 2 \cdot - 2}$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Multiplica $\sqrt{x} \sqrt{x}$ .

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Paso 4.2.1.1

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x} + 2 \cdot - 2}$

Paso 4.2.1.2

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1} + 2 \cdot - 2}$

Paso 4.2.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1} + 2 \cdot - 2}$

Paso 4.2.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{{\sqrt{x}}^{2} + 2 \cdot - 2}$

Paso 4.2.2

Reescribe ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Paso 4.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 \cdot - 2}$

Paso 4.2.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 \cdot - 2}$

Paso 4.2.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{x^{\frac{2}{2}} + 2 \cdot - 2}$

Paso 4.2.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{x^{\frac{2}{2}} + 2 \cdot - 2}$

Paso 4.2.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{x^{1} + 2 \cdot - 2}$

Paso 4.2.2.5

Simplifica.

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{x + 2 \cdot - 2}$

Paso 4.2.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{x - 4}$