Álgebra Ejemplos

$- 2 \cos^{2} (θ) + \sin (θ) + 1 = 0$

Paso 1

Reemplaza $- 2 \cos^{2} (θ)$ con $- 2 (1 - \sin^{2} (θ))$ según la identidad de $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$- 2 (1 - \sin^{2} (θ)) + \sin (θ) + 1 = 0$

Paso 2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 \cdot 1 - 2 (- \sin^{2} (θ)) + \sin (θ) + 1 = 0$

Paso 2.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2 - 2 (- \sin^{2} (θ)) + \sin (θ) + 1 = 0$

Paso 2.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$- 2 + 2 \sin^{2} (θ) + \sin (θ) + 1 = 0$

Paso 3

Suma $- 2$ y $1$ .

$2 \sin^{2} (θ) + \sin (θ) - 1 = 0$

Paso 4

Sustituye $u$ por $\sin (θ)$ .

$2 {(u)}^{2} + u - 1 = 0$

Paso 5

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ y cuya suma es $b = 1$ .

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Paso 5.1.1

Multiplica por $1$ .

$2 u^{2} + 1 u - 1 = 0$

Paso 5.1.2

Reescribe $1$ como $- 1$ más $2$

$2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1 = 0$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

Paso 5.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

Paso 5.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1) = 0$

Paso 5.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u + 1) = 0$

Paso 6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Paso 7

Establece $2 u - 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 7.1

Establece $2 u - 1$ igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Paso 7.2

Resuelve $2 u - 1 = 0$ en $u$ .

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Paso 7.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 u = 1$

Paso 7.2.2

Divide cada término en $2 u = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 7.2.2.1

Divide cada término en $2 u = 1$ por $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 7.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 7.2.2.2.1.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Paso 8

Establece $u + 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 8.1

Establece $u + 1$ igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Paso 8.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 1$

Paso 9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 u - 1) (u + 1) = 0$ verdadera.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

Paso 10

Sustituye $\sin (θ)$ por $u$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{2}, - 1$

Paso 11

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $θ$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

$\sin (θ) = - 1$

Paso 12

Resuelve $θ$ en $\sin (θ) = \frac{1}{2}$ .

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Paso 12.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de seno.

$θ = \arcsin (\frac{1}{2})$

Paso 12.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 12.2.1

El valor exacto de $\arcsin (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Paso 12.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$θ = π - \frac{π}{6}$

Paso 12.4

Simplifica $π - \frac{π}{6}$ .

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Paso 12.4.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$θ = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 12.4.2

Combina fracciones.

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Paso 12.4.2.1

Combina $π$ y $\frac{6}{6}$ .

$θ = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 12.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$θ = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Paso 12.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 12.4.3.1

Mueve $6$ a la izquierda de $π$ .

$θ = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Paso 12.4.3.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$θ = \frac{5 π}{6}$

Paso 12.5

Obtén el período de $\sin (θ)$ .

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Paso 12.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 12.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 12.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 12.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 12.6

El período de la función $\sin (θ)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 13

Resuelve $θ$ en $\sin (θ) = - 1$ .

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Paso 13.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de seno.

$θ = \arcsin (- 1)$

Paso 13.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 13.2.1

El valor exacto de $\arcsin (- 1)$ es $- \frac{π}{2}$ .

$θ = - \frac{π}{2}$

Paso 13.3

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$θ = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Paso 13.4

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 13.4.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$θ = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Paso 13.4.2

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Paso 13.5

Obtén el período de $\sin (θ)$ .

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Paso 13.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 13.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 13.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 13.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 13.6

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 13.6.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{2}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Paso 13.6.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 13.6.3

Combina fracciones.

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Paso 13.6.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 13.6.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 13.6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 13.6.4.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Paso 13.6.4.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Paso 13.6.5

Enumera los nuevos ángulos.

$θ = \frac{3 π}{2}$

Paso 13.7

El período de la función $\sin (θ)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 14

Enumera todas las soluciones.

$θ = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 15

Consolida las respuestas.

$θ = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$