Álgebra Ejemplos

$\frac{a^{2} - 1}{a^{3} + 1} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{a^{2} + 2 a + 1}$

Paso 1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{a^{2} - 1^{2}}{a^{3} + 1} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{a^{2} + 2 a + 1}$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = a$ y $b = 1$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1)}{a^{3} + 1} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{a^{2} + 2 a + 1}$

Paso 2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1)}{a^{3} + 1^{3}} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{a^{2} + 2 a + 1}$

Paso 2.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = a$ y $b = 1$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a^{2} - a \cdot 1 + 1^{2})} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{a^{2} + 2 a + 1}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a^{2} - a + 1^{2})} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{a^{2} + 2 a + 1}$

Paso 2.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{a^{2} + 2 a + 1}$

Paso 3

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 3.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{a^{2} + 2 a + 1^{2}}$

Paso 3.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 a = 2 \cdot a \cdot 1$

Paso 3.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{a^{2} + 2 \cdot a \cdot 1 + 1^{2}}$

Paso 3.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = a$ y $b = 1$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{{(a + 1)}^{2}}$

Paso 4

Simplifica los términos.

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $a + 1$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $a + 1$ de ${(a + 1)}^{2}$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{(a + 1) (a + 1)}$

Paso 4.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{(a + 1) (a + 1)}$

Paso 4.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{a - 1}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{a + 1}$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $a^{2} - a + 1$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $a^{2} - a + 1$ de $(a + 1) (a^{2} - a + 1)$ .

$\frac{a - 1}{(a^{2} - a + 1) (a + 1)} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{a + 1}$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{a - 1}{(a^{2} - a + 1) (a + 1)} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{a + 1}$

Paso 4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{a - 1}{a + 1} \cdot \frac{1}{a + 1}$

Paso 4.3

Multiplica $\frac{a - 1}{a + 1}$ por $\frac{1}{a + 1}$ .

$\frac{a - 1}{(a + 1) (a + 1)}$

Paso 5

Eleva $a + 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{a - 1}{{(a + 1)}^{1} (a + 1)}$

Paso 6

Eleva $a + 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{a - 1}{{(a + 1)}^{1} {(a + 1)}^{1}}$

Paso 7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{a - 1}{{(a + 1)}^{1 + 1}}$

Paso 8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{a - 1}{{(a + 1)}^{2}}$