Álgebra Ejemplos

$S (r) = r^{5} + 5 r^{4} - 7 r^{3} - 43 r^{2} - 8 r - 48$

Paso 1

Establece $r^{5} + 5 r^{4} - 7 r^{3} - 43 r^{2} - 8 r - 48$ igual a $0$ .

$r^{5} + 5 r^{4} - 7 r^{3} - 43 r^{2} - 8 r - 48 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Reagrupa los términos.

$r^{5} - 7 r^{3} - 8 r + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $r$ de $r^{5} - 7 r^{3} - 8 r$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1

Factoriza $r$ de $r^{5}$ .

$r \cdot r^{4} - 7 r^{3} - 8 r + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Paso 2.1.2.2

Factoriza $r$ de $- 7 r^{3}$ .

$r \cdot r^{4} + r (- 7 r^{2}) - 8 r + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Paso 2.1.2.3

Factoriza $r$ de $- 8 r$ .

$r \cdot r^{4} + r (- 7 r^{2}) + r \cdot - 8 + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Paso 2.1.2.4

Factoriza $r$ de $r \cdot r^{4} + r (- 7 r^{2})$ .

$r (r^{4} - 7 r^{2}) + r \cdot - 8 + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Paso 2.1.2.5

Factoriza $r$ de $r (r^{4} - 7 r^{2}) + r \cdot - 8$ .

$r (r^{4} - 7 r^{2} - 8) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Paso 2.1.3

Reescribe $r^{4}$ como ${(r^{2})}^{2}$ .

$r ({(r^{2})}^{2} - 7 r^{2} - 8) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Paso 2.1.4

Sea $u = r^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $r^{2}$ .

$r (u^{2} - 7 u - 8) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Paso 2.1.5

Factoriza $u^{2} - 7 u - 8$ con el método AC.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 8$ y cuya suma es $- 7$ .

$- 8, 1$

Paso 2.1.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$r ((u - 8) (u + 1)) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Paso 2.1.6

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.6.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $r^{2}$ .

$r ((r^{2} - 8) (r^{2} + 1)) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Paso 2.1.6.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Paso 2.1.7

Reescribe $r^{4}$ como ${(r^{2})}^{2}$ .

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 {(r^{2})}^{2} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Paso 2.1.8

Sea $u = r^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $r^{2}$ .

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u^{2} - 43 u - 48 = 0$

Paso 2.1.9

Factoriza por agrupación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.9.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 5 \cdot - 48 = - 240$ y cuya suma es $b = - 43$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.9.1.1

Factoriza $- 43$ de $- 43 u$ .

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u^{2} - 43 u - 48 = 0$

Paso 2.1.9.1.2

Reescribe $- 43$ como $5$ más $- 48$

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u^{2} + (5 - 48) u - 48 = 0$

Paso 2.1.9.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u^{2} + 5 u - 48 u - 48 = 0$

Paso 2.1.9.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.9.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u^{2} + 5 u - 48 u - 48 = 0$

Paso 2.1.9.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u (u + 1) - 48 (u + 1) = 0$

Paso 2.1.9.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $u + 1$ .

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + (u + 1) (5 u - 48) = 0$

Paso 2.1.10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $r^{2}$ .

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + (r^{2} + 1) (5 r^{2} - 48) = 0$

Paso 2.1.11

Factoriza $r^{2} + 1$ de $r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + (r^{2} + 1) (5 r^{2} - 48)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.11.1

Factoriza $r^{2} + 1$ de $r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1)$ .

$(r^{2} + 1) (r (r^{2} - 8)) + (r^{2} + 1) (5 r^{2} - 48) = 0$

Paso 2.1.11.2

Factoriza $r^{2} + 1$ de $(r^{2} + 1) (r (r^{2} - 8)) + (r^{2} + 1) (5 r^{2} - 48)$ .

$(r^{2} + 1) (r (r^{2} - 8) + 5 r^{2} - 48) = 0$

Paso 2.1.12

Aplica la propiedad distributiva.

$(r^{2} + 1) (r \cdot r^{2} + r \cdot - 8 + 5 r^{2} - 48) = 0$

Paso 2.1.13

Multiplica $r$ por $r^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.13.1

Multiplica $r$ por $r^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.13.1.1

Eleva $r$ a la potencia de $1$ .

$(r^{2} + 1) (r \cdot r^{2} + r \cdot - 8 + 5 r^{2} - 48) = 0$

Paso 2.1.13.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(r^{2} + 1) (r^{1 + 2} + r \cdot - 8 + 5 r^{2} - 48) = 0$

Paso 2.1.13.2

Suma $1$ y $2$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} + r \cdot - 8 + 5 r^{2} - 48) = 0$

Paso 2.1.14

Mueve $- 8$ a la izquierda de $r$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - 8 r + 5 r^{2} - 48) = 0$

Paso 2.1.15

Reordena los términos.

$(r^{2} + 1) (r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48) = 0$

Paso 2.1.16

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.16.1

Reescribe $r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48$ en forma factorizada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.16.1.1

Factoriza $r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48$ mediante la prueba de raíces racionales.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.16.1.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 48, \pm 2, \pm 24, \pm 3, \pm 16, \pm 4, \pm 12, \pm 6, \pm 8$

$q = \pm 1$

Paso 2.1.16.1.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 48, \pm 2, \pm 24, \pm 3, \pm 16, \pm 4, \pm 12, \pm 6, \pm 8$

Paso 2.1.16.1.1.3

Sustituye $3$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $3$ es una raíz del polinomio.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.16.1.1.3.1

Sustituye $3$ en el polinomio.

$3^{3} + 5 \cdot 3^{2} - 8 \cdot 3 - 48$

Paso 2.1.16.1.1.3.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 + 5 \cdot 3^{2} - 8 \cdot 3 - 48$

Paso 2.1.16.1.1.3.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$27 + 5 \cdot 9 - 8 \cdot 3 - 48$

Paso 2.1.16.1.1.3.4

Multiplica $5$ por $9$ .

$27 + 45 - 8 \cdot 3 - 48$

Paso 2.1.16.1.1.3.5

Suma $27$ y $45$ .

$72 - 8 \cdot 3 - 48$

Paso 2.1.16.1.1.3.6

Multiplica $- 8$ por $3$ .

$72 - 24 - 48$

Paso 2.1.16.1.1.3.7

Resta $24$ de $72$ .

$48 - 48$

Paso 2.1.16.1.1.3.8

Resta $48$ de $48$ .

$0$

Paso 2.1.16.1.1.4

Como $3$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $r - 3$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48}{r - 3}$

Paso 2.1.16.1.1.5

Divide $r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48$ por $r - 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.16.1.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$r$

$3$

$r^{3}$

$5 r^{2}$

$8 r$

$48$

Paso 2.1.16.1.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $r^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $r$ .

					$r^{2}$
	$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$

Paso 2.1.16.1.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$r^{2}$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			+	$r^{3}$	-	$3 r^{2}$

Paso 2.1.16.1.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $r^{3} - 3 r^{2}$ .

				$r^{2}$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$

Paso 2.1.16.1.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$r^{2}$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$

Paso 2.1.16.1.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$r^{2}$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$

Paso 2.1.16.1.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $8 r^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $r$ .

				$r^{2}$	+	$8 r$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$

Paso 2.1.16.1.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$r^{2}$	+	$8 r$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					+	$8 r^{2}$	-	$24 r$

Paso 2.1.16.1.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $8 r^{2} - 24 r$ .

				$r^{2}$	+	$8 r$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$

Paso 2.1.16.1.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$r^{2}$	+	$8 r$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$

Paso 2.1.16.1.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$r^{2}$	+	$8 r$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$	-	$48$

Paso 2.1.16.1.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $16 r$ por el término de mayor orden en el divisor $r$ .

				$r^{2}$	+	$8 r$	+	$16$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$	-	$48$

Paso 2.1.16.1.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$r^{2}$	+	$8 r$	+	$16$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$	-	$48$
							+	$16 r$	-	$48$

Paso 2.1.16.1.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $16 r - 48$ .

				$r^{2}$	+	$8 r$	+	$16$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$	-	$48$
							-	$16 r$	+	$48$

Paso 2.1.16.1.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$r^{2}$	+	$8 r$	+	$16$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$	-	$48$
							-	$16 r$	+	$48$
										$0$

Paso 2.1.16.1.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$r^{2} + 8 r + 16$

Paso 2.1.16.1.1.6

Escribe $r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48$ como un conjunto de factores.

$(r^{2} + 1) ((r - 3) (r^{2} + 8 r + 16)) = 0$

Paso 2.1.16.1.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.16.1.2.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$(r^{2} + 1) ((r - 3) (r^{2} + 8 r + 4^{2})) = 0$

Paso 2.1.16.1.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$8 r = 2 \cdot r \cdot 4$

Paso 2.1.16.1.2.3

Reescribe el polinomio.

$(r^{2} + 1) ((r - 3) (r^{2} + 2 \cdot r \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Paso 2.1.16.1.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = r$ y $b = 4$ .

$(r^{2} + 1) ((r - 3) {(r + 4)}^{2}) = 0$

Paso 2.1.16.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(r^{2} + 1) (r - 3) {(r + 4)}^{2} = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$r^{2} + 1 = 0$

$r - 3 = 0$

${(r + 4)}^{2} = 0$

Paso 2.3

Establece $r^{2} + 1$ igual a $0$ y resuelve $r$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Establece $r^{2} + 1$ igual a $0$ .

$r^{2} + 1 = 0$

Paso 2.3.2

Resuelve $r^{2} + 1 = 0$ en $r$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$r^{2} = - 1$

Paso 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \pm \sqrt{- 1}$

Paso 2.3.2.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$r = \pm i$

Paso 2.3.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$r = i$

Paso 2.3.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$r = - i$

Paso 2.3.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$r = i, - i$

Paso 2.4

Establece $r - 3$ igual a $0$ y resuelve $r$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Establece $r - 3$ igual a $0$ .

$r - 3 = 0$

Paso 2.4.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$r = 3$

Paso 2.5

Establece ${(r + 4)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $r$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Establece ${(r + 4)}^{2}$ igual a $0$ .

${(r + 4)}^{2} = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve ${(r + 4)}^{2} = 0$ en $r$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.1

Establece $r + 4$ igual a $0$ .

$r + 4 = 0$

Paso 2.5.2.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$r = - 4$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(r^{2} + 1) (r - 3) {(r + 4)}^{2} = 0$ verdadera.

$r = i, - i, 3, - 4$

Paso 3