Álgebra Ejemplos

$2 \sqrt{x - 4} = - \sqrt{x - 1} + 4$

Paso 1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(2 \sqrt{x - 4})}^{2} = {(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$

Paso 2

Simplifica cada lado de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x - 4}$ como ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Simplifica ${(2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$

Paso 2.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 {({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$

Paso 2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$

Paso 2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$4 {(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$

Paso 2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$4 {(x - 4)}^{1} = {(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$

Paso 2.2.1.4

Simplifica.

$4 (x - 4) = {(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$

Paso 2.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x + 4 \cdot - 4 = {(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$

Paso 2.2.1.6

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$4 x - 16 = {(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Simplifica ${(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1

Reescribe ${(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$ como $(- \sqrt{x - 1} + 4) (- \sqrt{x - 1} + 4)$ .

$4 x - 16 = (- \sqrt{x - 1} + 4) (- \sqrt{x - 1} + 4)$

Paso 2.3.1.2

Expande $(- \sqrt{x - 1} + 4) (- \sqrt{x - 1} + 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x - 16 = - \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1} + 4) + 4 (- \sqrt{x - 1} + 4)$

Paso 2.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x - 16 = - \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1}) - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1} + 4)$

Paso 2.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x - 16 = - \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1}) - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Paso 2.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.3.1.1

Multiplica $- \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.3.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$4 x - 16 = 1 \sqrt{x - 1} \sqrt{x - 1} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Paso 2.3.1.3.1.1.2

Multiplica $\sqrt{x - 1}$ por $1$ .

$4 x - 16 = \sqrt{x - 1} \sqrt{x - 1} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Paso 2.3.1.3.1.1.3

Eleva $\sqrt{x - 1}$ a la potencia de $1$ .

$4 x - 16 = {\sqrt{x - 1}}^{1} \sqrt{x - 1} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Paso 2.3.1.3.1.1.4

Eleva $\sqrt{x - 1}$ a la potencia de $1$ .

$4 x - 16 = {\sqrt{x - 1}}^{1} {\sqrt{x - 1}}^{1} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Paso 2.3.1.3.1.1.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 x - 16 = {\sqrt{x - 1}}^{1 + 1} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Paso 2.3.1.3.1.1.6

Suma $1$ y $1$ .

$4 x - 16 = {\sqrt{x - 1}}^{2} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Paso 2.3.1.3.1.2

Reescribe ${\sqrt{x - 1}}^{2}$ como $x - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x - 1}$ como ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 x - 16 = {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Paso 2.3.1.3.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x - 16 = {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Paso 2.3.1.3.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$4 x - 16 = {(x - 1)}^{\frac{2}{2}} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Paso 2.3.1.3.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.3.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$4 x - 16 = {(x - 1)}^{\frac{2}{2}} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Paso 2.3.1.3.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$4 x - 16 = {(x - 1)}^{1} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Paso 2.3.1.3.1.2.5

Simplifica.

$4 x - 16 = x - 1 - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Paso 2.3.1.3.1.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$4 x - 16 = x - 1 - 4 \sqrt{x - 1} + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Paso 2.3.1.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$4 x - 16 = x - 1 - 4 \sqrt{x - 1} - 4 \sqrt{x - 1} + 4 \cdot 4$

Paso 2.3.1.3.1.5

Multiplica $4$ por $4$ .

$4 x - 16 = x - 1 - 4 \sqrt{x - 1} - 4 \sqrt{x - 1} + 16$

Paso 2.3.1.3.2

Suma $- 1$ y $16$ .

$4 x - 16 = x + 15 - 4 \sqrt{x - 1} - 4 \sqrt{x - 1}$

Paso 2.3.1.3.3

Resta $4 \sqrt{x - 1}$ de $- 4 \sqrt{x - 1}$ .

$4 x - 16 = x + 15 - 8 \sqrt{x - 1}$

Paso 3

Resuelve $- 8 \sqrt{x - 1}$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $x + 15 - 8 \sqrt{x - 1} = 4 x - 16$ .

$x + 15 - 8 \sqrt{x - 1} = 4 x - 16$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que no contengan $- 8 \sqrt{x - 1}$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$15 - 8 \sqrt{x - 1} = 4 x - 16 - x$

Paso 3.2.2

Resta $15$ de ambos lados de la ecuación.

$- 8 \sqrt{x - 1} = 4 x - 16 - x - 15$

Paso 3.2.3

Resta $x$ de $4 x$ .

$- 8 \sqrt{x - 1} = 3 x - 16 - 15$

Paso 3.2.4

Resta $15$ de $- 16$ .

$- 8 \sqrt{x - 1} = 3 x - 31$

Paso 4

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(- 8 \sqrt{x - 1})}^{2} = {(3 x - 31)}^{2}$

Paso 5

Simplifica cada lado de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x - 1}$ como ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 8 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 31)}^{2}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Simplifica ${(- 8 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- 8 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 8)}^{2} {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 31)}^{2}$

Paso 5.2.1.2

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$64 {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 31)}^{2}$

Paso 5.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$64 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 31)}^{2}$

Paso 5.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$64 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 31)}^{2}$

Paso 5.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$64 {(x - 1)}^{1} = {(3 x - 31)}^{2}$

Paso 5.2.1.4

Simplifica.

$64 (x - 1) = {(3 x - 31)}^{2}$

Paso 5.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$64 x + 64 \cdot - 1 = {(3 x - 31)}^{2}$

Paso 5.2.1.6

Multiplica $64$ por $- 1$ .

$64 x - 64 = {(3 x - 31)}^{2}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Simplifica ${(3 x - 31)}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.1

Reescribe ${(3 x - 31)}^{2}$ como $(3 x - 31) (3 x - 31)$ .

$64 x - 64 = (3 x - 31) (3 x - 31)$

Paso 5.3.1.2

Expande $(3 x - 31) (3 x - 31)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$64 x - 64 = 3 x (3 x - 31) - 31 (3 x - 31)$

Paso 5.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$64 x - 64 = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 31 - 31 (3 x - 31)$

Paso 5.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$64 x - 64 = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 31 - 31 (3 x) - 31 \cdot - 31$

Paso 5.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$64 x - 64 = 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 31 - 31 (3 x) - 31 \cdot - 31$

Paso 5.3.1.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$64 x - 64 = 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 31 - 31 (3 x) - 31 \cdot - 31$

Paso 5.3.1.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$64 x - 64 = 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 31 - 31 (3 x) - 31 \cdot - 31$

Paso 5.3.1.3.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$64 x - 64 = 9 x^{2} + 3 x \cdot - 31 - 31 (3 x) - 31 \cdot - 31$

Paso 5.3.1.3.1.4

Multiplica $- 31$ por $3$ .

$64 x - 64 = 9 x^{2} - 93 x - 31 (3 x) - 31 \cdot - 31$

Paso 5.3.1.3.1.5

Multiplica $3$ por $- 31$ .

$64 x - 64 = 9 x^{2} - 93 x - 93 x - 31 \cdot - 31$

Paso 5.3.1.3.1.6

Multiplica $- 31$ por $- 31$ .

$64 x - 64 = 9 x^{2} - 93 x - 93 x + 961$

Paso 5.3.1.3.2

Resta $93 x$ de $- 93 x$ .

$64 x - 64 = 9 x^{2} - 186 x + 961$

Paso 6

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$9 x^{2} - 186 x + 961 = 64 x - 64$

Paso 6.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Resta $64 x$ de ambos lados de la ecuación.

$9 x^{2} - 186 x + 961 - 64 x = - 64$

Paso 6.2.2

Resta $64 x$ de $- 186 x$ .

$9 x^{2} - 250 x + 961 = - 64$

Paso 6.3

Suma $64$ a ambos lados de la ecuación.

$9 x^{2} - 250 x + 961 + 64 = 0$

Paso 6.4

Suma $961$ y $64$ .

$9 x^{2} - 250 x + 1025 = 0$

Paso 6.5

Factoriza por agrupación.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 9 \cdot 1025 = 9225$ y cuya suma es $b = - 250$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.1.1

Factoriza $- 250$ de $- 250 x$ .

$9 x^{2} - 250 x + 1025 = 0$

Paso 6.5.1.2

Reescribe $- 250$ como $- 45$ más $- 205$

$9 x^{2} + (- 45 - 205) x + 1025 = 0$

Paso 6.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$9 x^{2} - 45 x - 205 x + 1025 = 0$

Paso 6.5.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(9 x^{2} - 45 x) - 205 x + 1025 = 0$

Paso 6.5.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$9 x (x - 5) - 205 (x - 5) = 0$

Paso 6.5.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x - 5$ .

$(x - 5) (9 x - 205) = 0$

Paso 6.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$9 x - 205 = 0$

Paso 6.7

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.7.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 6.7.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 6.8

Establece $9 x - 205$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.8.1

Establece $9 x - 205$ igual a $0$ .

$9 x - 205 = 0$

Paso 6.8.2

Resuelve $9 x - 205 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.8.2.1

Suma $205$ a ambos lados de la ecuación.

$9 x = 205$

Paso 6.8.2.2

Divide cada término en $9 x = 205$ por $9$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.8.2.2.1

Divide cada término en $9 x = 205$ por $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{205}{9}$

Paso 6.8.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.8.2.2.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.8.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 x}{9} = \frac{205}{9}$

Paso 6.8.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{205}{9}$

Paso 6.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 5) (9 x - 205) = 0$ verdadera.

$x = 5, \frac{205}{9}$

Paso 7

Excluye las soluciones que no hagan que $2 \sqrt{x - 4} = - \sqrt{x - 1} + 4$ sea verdadera.

$x = 5$