Álgebra Ejemplos

$f (x) = {(\frac{x}{3})}^{3} + 6$

Paso 1

Escribe $f (x) = {(\frac{x}{3})}^{3} + 6$ como una ecuación.

$y = {(\frac{x}{3})}^{3} + 6$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = {(\frac{y}{3})}^{3} + 6$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como ${(\frac{y}{3})}^{3} + 6 = x$ .

${(\frac{y}{3})}^{3} + 6 = x$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{y}{3}$ .

$\frac{y^{3}}{3^{3}} + 6 = x$

Paso 3.2.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{y^{3}}{27} + 6 = x$

Paso 3.3

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y^{3}}{27} = x - 6$

Paso 3.4

Multiplica ambos lados de la ecuación por $27$ .

$27 \frac{y^{3}}{27} = 27 (x - 6)$

Paso 3.5

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.1.1

Cancela el factor común de $27$ .

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Paso 3.5.1.1.1

Cancela el factor común.

$27 \frac{y^{3}}{27} = 27 (x - 6)$

Paso 3.5.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y^{3} = 27 (x - 6)$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.1

Simplifica $27 (x - 6)$ .

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Paso 3.5.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{3} = 27 x + 27 \cdot - 6$

Paso 3.5.2.1.2

Multiplica $27$ por $- 6$ .

$y^{3} = 27 x - 162$

Paso 3.6

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[3]{27 x - 162}$

Paso 3.7

Simplifica $\sqrt[3]{27 x - 162}$ .

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Paso 3.7.1

Factoriza $27$ de $27 x - 162$ .

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Paso 3.7.1.1

Factoriza $27$ de $27 x$ .

$y = \sqrt[3]{27 (x) - 162}$

Paso 3.7.1.2

Factoriza $27$ de $- 162$ .

$y = \sqrt[3]{27 x + 27 \cdot - 6}$

Paso 3.7.1.3

Factoriza $27$ de $27 x + 27 \cdot - 6$ .

$y = \sqrt[3]{27 (x - 6)}$

Paso 3.7.2

Reescribe $27$ como $3^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{3^{3} (x - 6)}$

Paso 3.7.3

Retira los términos de abajo del radical.

$y = 3 \sqrt[3]{x - 6}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = 3 \sqrt[3]{x - 6}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = 3 \sqrt[3]{x - 6}$ es la inversa de $f (x) = {(\frac{x}{3})}^{3} + 6$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} ({(\frac{x}{3})}^{3} + 6)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x}{3})}^{3} + 6) = 3 \sqrt[3]{({(\frac{x}{3})}^{3} + 6) - 6}$

Paso 5.2.3

Aplica la regla del producto a $\frac{x}{3}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x}{3})}^{3} + 6) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{3^{3}} + 6 - 6}$

Paso 5.2.4

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x}{3})}^{3} + 6) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{27} + 6 - 6}$

Paso 5.2.5

Resta $6$ de $6$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x}{3})}^{3} + 6) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{27} + 0}$

Paso 5.2.6

Suma $\frac{x^{3}}{27}$ y $0$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x}{3})}^{3} + 6) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{27}}$

Paso 5.2.7

Reescribe $27$ como $3^{3}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x}{3})}^{3} + 6) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{3^{3}}}$

Paso 5.2.8

Reescribe $\frac{x^{3}}{3^{3}}$ como ${(\frac{x}{3})}^{3}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x}{3})}^{3} + 6) = 3 \sqrt[3]{{(\frac{x}{3})}^{3}}$

Paso 5.2.9

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f^{- 1} ({(\frac{x}{3})}^{3} + 6) = 3 (\frac{x}{3})$

Paso 5.2.10

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.10.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} ({(\frac{x}{3})}^{3} + 6) = 3 (\frac{x}{3})$

Paso 5.2.10.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} ({(\frac{x}{3})}^{3} + 6) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (3 \sqrt[3]{x - 6})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (3 \sqrt[3]{x - 6}) = {(\frac{3 \sqrt[3]{x - 6}}{3})}^{3} + 6$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.3.1.1

Cancela el factor común.

$f (3 \sqrt[3]{x - 6}) = {(\frac{3 \sqrt[3]{x - 6}}{3})}^{3} + 6$

Paso 5.3.3.1.2

Divide $\sqrt[3]{x - 6}$ por $1$ .

$f (3 \sqrt[3]{x - 6}) = {\sqrt[3]{x - 6}}^{3} + 6$

Paso 5.3.3.2

Reescribe ${\sqrt[3]{x - 6}}^{3}$ como $x - 6$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x - 6}$ como ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (3 \sqrt[3]{x - 6}) = {({(x - 6)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 6$

Paso 5.3.3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (3 \sqrt[3]{x - 6}) = {(x - 6)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 6$

Paso 5.3.3.2.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$f (3 \sqrt[3]{x - 6}) = {(x - 6)}^{\frac{3}{3}} + 6$

Paso 5.3.3.2.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$f (3 \sqrt[3]{x - 6}) = {(x - 6)}^{\frac{3}{3}} + 6$

Paso 5.3.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$f (3 \sqrt[3]{x - 6}) = (x - 6) + 6$

Paso 5.3.3.2.5

Simplifica.

$f (3 \sqrt[3]{x - 6}) = x - 6 + 6$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $x - 6 + 6$ .

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Paso 5.3.4.1

Suma $- 6$ y $6$ .

$f (3 \sqrt[3]{x - 6}) = x + 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (3 \sqrt[3]{x - 6}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = 3 \sqrt[3]{x - 6}$ es la inversa de $f (x) = {(\frac{x}{3})}^{3} + 6$ .

$f^{- 1} (x) = 3 \sqrt[3]{x - 6}$