Álgebra Ejemplos

$\frac{2 n - 3}{n + 1} \cdot \frac{2 n^{2} + 5 n + 3}{9 - 4 n^{2}}$

Paso 1

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ y cuya suma es $b = 5$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $5$ de $5 n$ .

$\frac{2 n - 3}{n + 1} \cdot \frac{2 n^{2} + 5 (n) + 3}{9 - 4 n^{2}}$

Paso 1.1.2

Reescribe $5$ como $2$ más $3$

$\frac{2 n - 3}{n + 1} \cdot \frac{2 n^{2} + (2 + 3) n + 3}{9 - 4 n^{2}}$

Paso 1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 n - 3}{n + 1} \cdot \frac{2 n^{2} + 2 n + 3 n + 3}{9 - 4 n^{2}}$

Paso 1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{2 n - 3}{n + 1} \cdot \frac{(2 n^{2} + 2 n) + 3 n + 3}{9 - 4 n^{2}}$

Paso 1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{2 n - 3}{n + 1} \cdot \frac{2 n (n + 1) + 3 (n + 1)}{9 - 4 n^{2}}$

Paso 1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $n + 1$ .

$\frac{2 n - 3}{n + 1} \cdot \frac{(n + 1) (2 n + 3)}{9 - 4 n^{2}}$

Paso 2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{2 n - 3}{n + 1} \cdot \frac{(n + 1) (2 n + 3)}{3^{2} - 4 n^{2}}$

Paso 2.2

Reescribe $4 n^{2}$ como ${(2 n)}^{2}$ .

$\frac{2 n - 3}{n + 1} \cdot \frac{(n + 1) (2 n + 3)}{3^{2} - {(2 n)}^{2}}$

Paso 2.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 3$ y $b = 2 n$ .

$\frac{2 n - 3}{n + 1} \cdot \frac{(n + 1) (2 n + 3)}{(3 + 2 n) (3 - (2 n))}$

Paso 2.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 n - 3}{n + 1} \cdot \frac{(n + 1) (2 n + 3)}{(3 + 2 n) (3 - 2 n)}$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $n + 1$ .

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 n - 3}{n + 1} \cdot \frac{(n + 1) (2 n + 3)}{(3 + 2 n) (3 - 2 n)}$

Paso 3.1.2

Reescribe la expresión.

$(2 n - 3) \cdot \frac{2 n + 3}{(3 + 2 n) (3 - 2 n)}$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $2 n + 3$ y $3 + 2 n$ .

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Paso 3.2.1

Reordena los términos.

$(2 n - 3) \cdot \frac{2 n + 3}{(2 n + 3) (3 - 2 n)}$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común.

$(2 n - 3) \cdot \frac{2 n + 3}{(2 n + 3) (3 - 2 n)}$

Paso 3.2.3

Reescribe la expresión.

$(2 n - 3) \cdot \frac{1}{3 - 2 n}$

Paso 3.3

Multiplica $2 n - 3$ por $\frac{1}{3 - 2 n}$ .

$\frac{2 n - 3}{3 - 2 n}$

Paso 3.4

Cancela el factor común de $2 n - 3$ y $3 - 2 n$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $- 1$ de $2 n$ .

$\frac{- (- 2 n) - 3}{3 - 2 n}$

Paso 3.4.2

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$\frac{- (- 2 n) - 1 (3)}{3 - 2 n}$

Paso 3.4.3

Factoriza $- 1$ de $- (- 2 n) - 1 (3)$ .

$\frac{- (- 2 n + 3)}{3 - 2 n}$

Paso 3.4.4

Reescribe $- (- 2 n + 3)$ como $- 1 (- 2 n + 3)$ .

$\frac{- 1 (- 2 n + 3)}{3 - 2 n}$

Paso 3.4.5

Reordena los términos.

$\frac{- 1 (- 2 n + 3)}{- 2 n + 3}$

Paso 3.4.6

Cancela el factor común.

$\frac{- 1 (- 2 n + 3)}{- 2 n + 3}$

Paso 3.4.7

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$