Álgebra Ejemplos

$(\sqrt{2} + i \sqrt{3}) (\sqrt{2} - i \sqrt{3})$

Paso 1

Expande $(\sqrt{2} + i \sqrt{3}) (\sqrt{2} - i \sqrt{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{2} (\sqrt{2} - i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} (\sqrt{2} - i \sqrt{3})$

Paso 1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} (\sqrt{2} - i \sqrt{3})$

Paso 1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} \sqrt{2} + i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})$

Paso 2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{2} (- i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} \sqrt{2} + i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})$

Paso 2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\sqrt{4} + \sqrt{2} (- i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} \sqrt{2} + i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})$

Paso 2.1.3

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2}} + \sqrt{2} (- i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} \sqrt{2} + i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})$

Paso 2.1.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$2 + \sqrt{2} (- i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} \sqrt{2} + i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})$

Paso 2.1.5

Multiplica $\sqrt{2} (- i \sqrt{3})$ .

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Paso 2.1.5.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$2 - i \sqrt{2 \cdot 3} + i \sqrt{3} \sqrt{2} + i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})$

Paso 2.1.5.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$2 - i \sqrt{6} + i \sqrt{3} \sqrt{2} + i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})$

Paso 2.1.6

Multiplica $i \sqrt{3} \sqrt{2}$ .

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Paso 2.1.6.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$2 - i \sqrt{6} + i \sqrt{2 \cdot 3} + i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})$

Paso 2.1.6.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$2 - i \sqrt{6} + i \sqrt{6} + i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})$

Paso 2.1.7

Multiplica $i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})$ .

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Paso 2.1.7.1

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$2 - i \sqrt{6} + i \sqrt{6} + \sqrt{3} (- (i^{1} i) \sqrt{3})$

Paso 2.1.7.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$2 - i \sqrt{6} + i \sqrt{6} + \sqrt{3} (- (i^{1} i^{1}) \sqrt{3})$

Paso 2.1.7.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 - i \sqrt{6} + i \sqrt{6} + \sqrt{3} (- i^{1 + 1} \sqrt{3})$

Paso 2.1.7.4

Suma $1$ y $1$ .

$2 - i \sqrt{6} + i \sqrt{6} + \sqrt{3} (- i^{2} \sqrt{3})$

Paso 2.1.7.5

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$2 - i \sqrt{6} + i \sqrt{6} - i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})$

Paso 2.1.7.6

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$2 - i \sqrt{6} + i \sqrt{6} - i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})$

Paso 2.1.7.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 - i \sqrt{6} + i \sqrt{6} - i^{2} {\sqrt{3}}^{1 + 1}$

Paso 2.1.7.8

Suma $1$ y $1$ .

$2 - i \sqrt{6} + i \sqrt{6} - i^{2} {\sqrt{3}}^{2}$

Paso 2.1.8

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$2 - i \sqrt{6} + i \sqrt{6} - - 1 {\sqrt{3}}^{2}$

Paso 2.1.9

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$2 - i \sqrt{6} + i \sqrt{6} + 1 {\sqrt{3}}^{2}$

Paso 2.1.10

Multiplica ${\sqrt{3}}^{2}$ por $1$ .

$2 - i \sqrt{6} + i \sqrt{6} + {\sqrt{3}}^{2}$

Paso 2.1.11

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 2.1.11.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$2 - i \sqrt{6} + i \sqrt{6} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 2.1.11.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 - i \sqrt{6} + i \sqrt{6} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 2.1.11.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$2 - i \sqrt{6} + i \sqrt{6} + 3^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.1.11.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.11.4.1

Cancela el factor común.

$2 - i \sqrt{6} + i \sqrt{6} + 3^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.1.11.4.2

Reescribe la expresión.

$2 - i \sqrt{6} + i \sqrt{6} + 3^{1}$

Paso 2.1.11.5

Evalúa el exponente.

$2 - i \sqrt{6} + i \sqrt{6} + 3$

Paso 2.2

Suma $2$ y $3$ .

$- i \sqrt{6} + i \sqrt{6} + 5$

Paso 2.3

Suma $- i \sqrt{6}$ y $i \sqrt{6}$ .

$0 + 5$

Paso 2.4

Suma $0$ y $5$ .

$5$