Álgebra Ejemplos

${(2 x^{3} - y)}^{5}$

Paso 1

El triángulo de Pascal se puede visualizar de la siguiente manera:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

El triángulo puede usarse para calcular los coeficientes de la expansión de ${(a + b)}^{n}$ al tomar el exponente $n$ y sumar $1$ . Los coeficientes se corresponderán con la línea $n + 1$ del triángulo. Para ${(2 x^{3} - y)}^{5}$ , $n = 5$ de modo que los coeficientes de la expansión se corresponderán con la línea $6$ .

Paso 2

La expansión sigue la regla ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Los valores de los coeficientes, desde el triángulo, son $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ .

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

Paso 3

Sustituye los valores reales de $a$ , $2 x^{3}$ y $b$ en la expresión $- y$ .

$1 {(2 x^{3})}^{5} {(- y)}^{0} + 5 {(2 x^{3})}^{4} {(- y)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(- y)}^{5}$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Multiplica ${(2 x^{3})}^{5}$ por $1$ .

${(2 x^{3})}^{5} {(- y)}^{0} + 5 {(2 x^{3})}^{4} {(- y)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(- y)}^{5}$

Paso 4.2

Aplica la regla del producto a $2 x^{3}$ .

$2^{5} {(x^{3})}^{5} {(- y)}^{0} + 5 {(2 x^{3})}^{4} {(- y)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(- y)}^{5}$

Paso 4.3

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$32 {(x^{3})}^{5} {(- y)}^{0} + 5 {(2 x^{3})}^{4} {(- y)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(- y)}^{5}$

Paso 4.4

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{5}$ .

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Paso 4.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$32 x^{3 \cdot 5} {(- y)}^{0} + 5 {(2 x^{3})}^{4} {(- y)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(- y)}^{5}$

Paso 4.4.2

Multiplica $3$ por $5$ .

$32 x^{15} {(- y)}^{0} + 5 {(2 x^{3})}^{4} {(- y)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(- y)}^{5}$

Paso 4.5

Aplica la regla del producto a $- y$ .

$32 x^{15} ({(- 1)}^{0} y^{0}) + 5 {(2 x^{3})}^{4} {(- y)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(- y)}^{5}$

Paso 4.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$32 \cdot {(- 1)}^{0} x^{15} y^{0} + 5 {(2 x^{3})}^{4} {(- y)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(- y)}^{5}$

Paso 4.7

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$32 \cdot 1 x^{15} y^{0} + 5 {(2 x^{3})}^{4} {(- y)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(- y)}^{5}$

Paso 4.8

Multiplica $32$ por $1$ .

$32 x^{15} y^{0} + 5 {(2 x^{3})}^{4} {(- y)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(- y)}^{5}$

Paso 4.9

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$32 x^{15} \cdot 1 + 5 {(2 x^{3})}^{4} {(- y)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(- y)}^{5}$

Paso 4.10

Multiplica $32$ por $1$ .

$32 x^{15} + 5 {(2 x^{3})}^{4} {(- y)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(- y)}^{5}$

Paso 4.11

Aplica la regla del producto a $2 x^{3}$ .

$32 x^{15} + 5 (2^{4} {(x^{3})}^{4}) {(- y)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(- y)}^{5}$

Paso 4.12

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$32 x^{15} + 5 (16 {(x^{3})}^{4}) {(- y)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(- y)}^{5}$

Paso 4.13

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{4}$ .

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Paso 4.13.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$32 x^{15} + 5 (16 x^{3 \cdot 4}) {(- y)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(- y)}^{5}$

Paso 4.13.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$32 x^{15} + 5 (16 x^{12}) {(- y)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(- y)}^{5}$

Paso 4.14

Multiplica $16$ por $5$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} {(- y)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(- y)}^{5}$

Paso 4.15

Simplifica.

$32 x^{15} + 80 x^{12} (- y) + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(- y)}^{5}$

Paso 4.16

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$32 x^{15} + 80 \cdot - 1 x^{12} y + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(- y)}^{5}$

Paso 4.17

Multiplica $80$ por $- 1$ .

$32 x^{15} - 80 x^{12} y + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(- y)}^{5}$

Paso 4.18

Aplica la regla del producto a $2 x^{3}$ .

$32 x^{15} - 80 x^{12} y + 10 (2^{3} {(x^{3})}^{3}) {(- y)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(- y)}^{5}$

Paso 4.19

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$32 x^{15} - 80 x^{12} y + 10 (8 {(x^{3})}^{3}) {(- y)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(- y)}^{5}$

Paso 4.20

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{3}$ .

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Paso 4.20.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$32 x^{15} - 80 x^{12} y + 10 (8 x^{3 \cdot 3}) {(- y)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(- y)}^{5}$

Paso 4.20.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$32 x^{15} - 80 x^{12} y + 10 (8 x^{9}) {(- y)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(- y)}^{5}$

Paso 4.21

Multiplica $8$ por $10$ .

$32 x^{15} - 80 x^{12} y + 80 x^{9} {(- y)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(- y)}^{5}$

Paso 4.22

Aplica la regla del producto a $- y$ .

$32 x^{15} - 80 x^{12} y + 80 x^{9} ({(- 1)}^{2} y^{2}) + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(- y)}^{5}$

Paso 4.23

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$32 x^{15} - 80 x^{12} y + 80 \cdot {(- 1)}^{2} x^{9} y^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(- y)}^{5}$

Paso 4.24

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$32 x^{15} - 80 x^{12} y + 80 \cdot 1 x^{9} y^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(- y)}^{5}$

Paso 4.25

Multiplica $80$ por $1$ .

$32 x^{15} - 80 x^{12} y + 80 x^{9} y^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(- y)}^{5}$

Paso 4.26

Aplica la regla del producto a $2 x^{3}$ .

$32 x^{15} - 80 x^{12} y + 80 x^{9} y^{2} + 10 (2^{2} {(x^{3})}^{2}) {(- y)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(- y)}^{5}$

Paso 4.27

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$32 x^{15} - 80 x^{12} y + 80 x^{9} y^{2} + 10 (4 {(x^{3})}^{2}) {(- y)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(- y)}^{5}$

Paso 4.28

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{2}$ .

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Paso 4.28.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$32 x^{15} - 80 x^{12} y + 80 x^{9} y^{2} + 10 (4 x^{3 \cdot 2}) {(- y)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(- y)}^{5}$

Paso 4.28.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$32 x^{15} - 80 x^{12} y + 80 x^{9} y^{2} + 10 (4 x^{6}) {(- y)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(- y)}^{5}$

Paso 4.29

Multiplica $4$ por $10$ .

$32 x^{15} - 80 x^{12} y + 80 x^{9} y^{2} + 40 x^{6} {(- y)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(- y)}^{5}$

Paso 4.30

Aplica la regla del producto a $- y$ .

$32 x^{15} - 80 x^{12} y + 80 x^{9} y^{2} + 40 x^{6} ({(- 1)}^{3} y^{3}) + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(- y)}^{5}$

Paso 4.31

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$32 x^{15} - 80 x^{12} y + 80 x^{9} y^{2} + 40 \cdot {(- 1)}^{3} x^{6} y^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(- y)}^{5}$

Paso 4.32

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$32 x^{15} - 80 x^{12} y + 80 x^{9} y^{2} + 40 \cdot - 1 x^{6} y^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(- y)}^{5}$

Paso 4.33

Multiplica $40$ por $- 1$ .

$32 x^{15} - 80 x^{12} y + 80 x^{9} y^{2} - 40 x^{6} y^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(- y)}^{5}$

Paso 4.34

Simplifica.

$32 x^{15} - 80 x^{12} y + 80 x^{9} y^{2} - 40 x^{6} y^{3} + 5 (2 x^{3}) {(- y)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(- y)}^{5}$

Paso 4.35

Multiplica $2$ por $5$ .

$32 x^{15} - 80 x^{12} y + 80 x^{9} y^{2} - 40 x^{6} y^{3} + 10 x^{3} {(- y)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(- y)}^{5}$

Paso 4.36

Aplica la regla del producto a $- y$ .

$32 x^{15} - 80 x^{12} y + 80 x^{9} y^{2} - 40 x^{6} y^{3} + 10 x^{3} ({(- 1)}^{4} y^{4}) + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(- y)}^{5}$

Paso 4.37

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$32 x^{15} - 80 x^{12} y + 80 x^{9} y^{2} - 40 x^{6} y^{3} + 10 \cdot {(- 1)}^{4} x^{3} y^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(- y)}^{5}$

Paso 4.38

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$32 x^{15} - 80 x^{12} y + 80 x^{9} y^{2} - 40 x^{6} y^{3} + 10 \cdot 1 x^{3} y^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(- y)}^{5}$

Paso 4.39

Multiplica $10$ por $1$ .

$32 x^{15} - 80 x^{12} y + 80 x^{9} y^{2} - 40 x^{6} y^{3} + 10 x^{3} y^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(- y)}^{5}$

Paso 4.40

Multiplica ${(2 x^{3})}^{0}$ por $1$ .

$32 x^{15} - 80 x^{12} y + 80 x^{9} y^{2} - 40 x^{6} y^{3} + 10 x^{3} y^{4} + {(2 x^{3})}^{0} {(- y)}^{5}$

Paso 4.41

Aplica la regla del producto a $2 x^{3}$ .

$32 x^{15} - 80 x^{12} y + 80 x^{9} y^{2} - 40 x^{6} y^{3} + 10 x^{3} y^{4} + 2^{0} {(x^{3})}^{0} {(- y)}^{5}$

Paso 4.42

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$32 x^{15} - 80 x^{12} y + 80 x^{9} y^{2} - 40 x^{6} y^{3} + 10 x^{3} y^{4} + 1 {(x^{3})}^{0} {(- y)}^{5}$

Paso 4.43

Multiplica ${(x^{3})}^{0}$ por $1$ .

$32 x^{15} - 80 x^{12} y + 80 x^{9} y^{2} - 40 x^{6} y^{3} + 10 x^{3} y^{4} + {(x^{3})}^{0} {(- y)}^{5}$

Paso 4.44

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{0}$ .

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Paso 4.44.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$32 x^{15} - 80 x^{12} y + 80 x^{9} y^{2} - 40 x^{6} y^{3} + 10 x^{3} y^{4} + x^{3 \cdot 0} {(- y)}^{5}$

Paso 4.44.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$32 x^{15} - 80 x^{12} y + 80 x^{9} y^{2} - 40 x^{6} y^{3} + 10 x^{3} y^{4} + x^{0} {(- y)}^{5}$

Paso 4.45

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$32 x^{15} - 80 x^{12} y + 80 x^{9} y^{2} - 40 x^{6} y^{3} + 10 x^{3} y^{4} + 1 {(- y)}^{5}$

Paso 4.46

Multiplica ${(- y)}^{5}$ por $1$ .

$32 x^{15} - 80 x^{12} y + 80 x^{9} y^{2} - 40 x^{6} y^{3} + 10 x^{3} y^{4} + {(- y)}^{5}$

Paso 4.47

Aplica la regla del producto a $- y$ .

$32 x^{15} - 80 x^{12} y + 80 x^{9} y^{2} - 40 x^{6} y^{3} + 10 x^{3} y^{4} + {(- 1)}^{5} y^{5}$

Paso 4.48

Eleva $- 1$ a la potencia de $5$ .

$32 x^{15} - 80 x^{12} y + 80 x^{9} y^{2} - 40 x^{6} y^{3} + 10 x^{3} y^{4} - y^{5}$