Álgebra Ejemplos

$\frac{3 + \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5}}$

Paso 1

Multiplica $\frac{3 + \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5}}$ por $\frac{1 + \sqrt{5}}{1 + \sqrt{5}}$ .

$\frac{3 + \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5}} \cdot \frac{1 + \sqrt{5}}{1 + \sqrt{5}}$

Paso 2

Combina fracciones.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{3 + \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5}}$ por $\frac{1 + \sqrt{5}}{1 + \sqrt{5}}$ .

$\frac{(3 + \sqrt{5}) (1 + \sqrt{5})}{(1 - \sqrt{5}) (1 + \sqrt{5})}$

Paso 2.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{(3 + \sqrt{5}) (1 + \sqrt{5})}{1 + \sqrt{5} - \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{2}}$

Paso 2.3

Simplifica.

$\frac{(3 + \sqrt{5}) (1 + \sqrt{5})}{- 4}$

Paso 3

Expande $(3 + \sqrt{5}) (1 + \sqrt{5})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (1 + \sqrt{5}) + \sqrt{5} (1 + \sqrt{5})}{- 4}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 \sqrt{5} + \sqrt{5} (1 + \sqrt{5})}{- 4}$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 1 + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 4}$

Paso 4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{3 + 3 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 1 + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 4}$

Paso 4.1.2

Multiplica $\sqrt{5}$ por $1$ .

$\frac{3 + 3 \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 4}$

Paso 4.1.3

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{3 + 3 \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{5 \cdot 5}}{- 4}$

Paso 4.1.4

Multiplica $5$ por $5$ .

$\frac{3 + 3 \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{25}}{- 4}$

Paso 4.1.5

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{3 + 3 \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{5^{2}}}{- 4}$

Paso 4.1.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{3 + 3 \sqrt{5} + \sqrt{5} + 5}{- 4}$

Paso 4.2

Suma $3$ y $5$ .

$\frac{8 + 3 \sqrt{5} + \sqrt{5}}{- 4}$

Paso 4.3

Suma $3 \sqrt{5}$ y $\sqrt{5}$ .

$\frac{8 + 4 \sqrt{5}}{- 4}$

Paso 5

Cancela el factor común de $8 + 4 \sqrt{5}$ y $- 4$ .

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Paso 5.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{4 (2) + 4 \sqrt{5}}{- 4}$

Paso 5.2

Factoriza $4$ de $4 \sqrt{5}$ .

$\frac{4 (2) + 4 (\sqrt{5})}{- 4}$

Paso 5.3

Factoriza $4$ de $4 (2) + 4 (\sqrt{5})$ .

$\frac{4 (2 + \sqrt{5})}{- 4}$

Paso 5.4

Mueve el negativo del denominador de $\frac{2 + \sqrt{5}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (2 + \sqrt{5})$

Paso 6

Reescribe $- 1 \cdot (2 + \sqrt{5})$ como $- (2 + \sqrt{5})$ .

$- (2 + \sqrt{5})$

Paso 7

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1 \cdot 2 - \sqrt{5}$

Paso 8

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 - \sqrt{5}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- 2 - \sqrt{5}$

Forma decimal:

$- 4.23606797 \dots$