Álgebra Ejemplos

$3 x - y^{2} = 4 x + 25$

Paso 1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Resta $4 x$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x - y^{2} - 4 x = 25$

Paso 1.2

Resta $4 x$ de $3 x$ .

$- y^{2} - x = 25$

Paso 2

Suma $y^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$- x = 25 + y^{2}$

Paso 3

Divide cada término en $- x = 25 + y^{2}$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Divide cada término en $- x = 25 + y^{2}$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{25}{- 1} + \frac{y^{2}}{- 1}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{25}{- 1} + \frac{y^{2}}{- 1}$

Paso 3.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{25}{- 1} + \frac{y^{2}}{- 1}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1.1

Divide $25$ por $- 1$ .

$x = - 25 + \frac{y^{2}}{- 1}$

Paso 3.3.1.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{y^{2}}{- 1}$ .

$x = - 25 - 1 \cdot y^{2}$

Paso 3.3.1.3

Reescribe $- 1 \cdot y^{2}$ como $- y^{2}$ .

$x = - 25 - y^{2}$

Paso 4

Obtén las propiedades de la parábola dada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Reordena $- 25$ y $- y^{2}$ .

$x = - y^{2} - 25$

Paso 4.1.2

Completa el cuadrado de $- y^{2} - 25$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 1$

$b = 0$

$c = - 25$

Paso 4.1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 4.1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.1.2.3.2.1.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Paso 4.1.2.3.2.2

Reescribe $- 1 \cdot 0$ como $- 0$ .

$d = - 0$

Paso 4.1.2.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$d = 0$

Paso 4.1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 25 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 4.1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.4.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$e = - 25 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

Paso 4.1.2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$e = - 25 - \frac{0}{- 4}$

Paso 4.1.2.4.2.1.3

Divide $0$ por $- 4$ .

$e = - 25 - 0$

Paso 4.1.2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$e = - 25 + 0$

Paso 4.1.2.4.2.2

Suma $- 25$ y $0$ .

$e = - 25$

Paso 4.1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- {(y + 0)}^{2} - 25$ .

$- {(y + 0)}^{2} - 25$

Paso 4.1.3

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = - {(y + 0)}^{2} - 25$

Paso 4.2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - 1$

$h = - 25$

$k = 0$

Paso 4.3

Como el valor de $a$ es negativo, la parábola se abre hacia la izquierda.

Abre hacia la izquierda

Paso 4.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 25, 0)$

Paso 4.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 4.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Paso 4.5.3

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.3.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Paso 4.5.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4}$

Paso 4.6

Obtén el foco.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada x $h$ si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$(h + p, k)$

Paso 4.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- \frac{101}{4}, 0)$

Paso 4.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$y = 0$

Paso 4.8

Obtén la directriz.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.8.1

La directriz de una parábola es la recta vertical que se obtiene al restar $p$ de la coordenada x $h$ del vértice si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$x = h - p$

Paso 4.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $h$ en la fórmula y simplifica.

$x = - \frac{99}{4}$

Paso 4.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia la izquierda

Vértice: $(- 25, 0)$

Foco: $(- \frac{101}{4}, 0)$

Eje de simetría: $y = 0$

Directriz: $x = - \frac{99}{4}$

Dirección: abre hacia la izquierda

Vértice: $(- 25, 0)$

Foco: $(- \frac{101}{4}, 0)$

Eje de simetría: $y = 0$

Directriz: $x = - \frac{99}{4}$

Paso 5

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Sustituye el valor $x$ $- 27$ en $f (x) = \sqrt{- x - 25}$ . En este caso, el punto es $(- 27, 1.41421356)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 27$ en la expresión.

$f (- 27) = \sqrt{- (- 27) - 25}$

Paso 5.1.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 27$ .

$f (- 27) = \sqrt{27 - 25}$

Paso 5.1.2.2

Resta $25$ de $27$ .

$f (- 27) = \sqrt{2}$

Paso 5.1.2.3

La respuesta final es $\sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2}$

Paso 5.1.3

Convierte $\sqrt{2}$ a decimal.

$= 1.41421356$

Paso 5.2

Sustituye el valor $x$ $- 27$ en $f (x) = - \sqrt{- x - 25}$ . En este caso, el punto es $(- 27, - 1.41421356)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 27$ en la expresión.

$f (- 27) = - \sqrt{- (- 27) - 25}$

Paso 5.2.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 27$ .

$f (- 27) = - \sqrt{27 - 25}$

Paso 5.2.2.2

Resta $25$ de $27$ .

$f (- 27) = - \sqrt{2}$

Paso 5.2.2.3

La respuesta final es $- \sqrt{2}$ .

$y = - \sqrt{2}$

Paso 5.2.3

Convierte $- \sqrt{2}$ a decimal.

$= - 1.41421356$

Paso 5.3

Sustituye el valor $x$ $- 26$ en $f (x) = \sqrt{- x - 25}$ . En este caso, el punto es $(- 26, 1)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 26$ en la expresión.

$f (- 26) = \sqrt{- (- 26) - 25}$

Paso 5.3.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 26$ .

$f (- 26) = \sqrt{26 - 25}$

Paso 5.3.2.2

Resta $25$ de $26$ .

$f (- 26) = \sqrt{1}$

Paso 5.3.2.3

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$f (- 26) = 1$

Paso 5.3.2.4

La respuesta final es $1$ .

$y = 1$

Paso 5.3.3

Convierte $1$ a decimal.

$= 1$

Paso 5.4

Sustituye el valor $x$ $- 26$ en $f (x) = - \sqrt{- x - 25}$ . En este caso, el punto es $(- 26, - 1)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 26$ en la expresión.

$f (- 26) = - \sqrt{- (- 26) - 25}$

Paso 5.4.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 26$ .

$f (- 26) = - \sqrt{26 - 25}$

Paso 5.4.2.2

Resta $25$ de $26$ .

$f (- 26) = - \sqrt{1}$

Paso 5.4.2.3

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$f (- 26) = - 1 \cdot 1$

Paso 5.4.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (- 26) = - 1$

Paso 5.4.2.5

La respuesta final es $- 1$ .

$y = - 1$

Paso 5.4.3

Convierte $- 1$ a decimal.

$= - 1$

Paso 5.5

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 27 & 1.41 \\ - 27 & - 1.41 \\ - 26 & 1 \\ - 26 & - 1 \\ - 25 & 0 \end{array}$

Paso 6

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia la izquierda

Vértice: $(- 25, 0)$

Foco: $(- \frac{101}{4}, 0)$

Eje de simetría: $y = 0$

Directriz: $x = - \frac{99}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 27 & 1.41 \\ - 27 & - 1.41 \\ - 26 & 1 \\ - 26 & - 1 \\ - 25 & 0 \end{array}$

Paso 7