Álgebra Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 3}{x^{2} - 9}$

Paso 1

Factoriza $x^{2} - 2 x - 3$ con el método AC.

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Paso 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 3$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 3, 1$

Paso 1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$f (x) = \frac{(x - 3) (x + 1)}{x^{2} - 9}$

Paso 2

Factoriza $x^{2} - 9$ .

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Paso 2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$f (x) = \frac{(x - 3) (x + 1)}{x^{2} - 3^{2}}$

Paso 2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$f (x) = \frac{(x - 3) (x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$

Paso 3

Cancela el factor común de $x - 3$ .

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Paso 3.1

Cancela el factor común.

$f (x) = \frac{(x - 3) (x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$

Paso 3.2

Reescribe la expresión.

$f (x) = \frac{x + 1}{x + 3}$

Paso 4

Para obtener los huecos en la gráfica, mira los factores del denominador que se cancelaron.

$x - 3$

Paso 5

Para obtener las coordenadas de los huecos, establece cada factor que se canceló igual a $0$ , resuelve y vuelve a sustituir por $\frac{x + 1}{x + 3}$ .

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Paso 5.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 5.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 5.3

Sustituye $3$ por $x$ en $\frac{x + 1}{x + 3}$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Sustituye $3$ por $x$ para obtener la coordenada $y$ del hueco.

$\frac{3 + 1}{3 + 3}$

Paso 5.3.2

Simplifica.

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Paso 5.3.2.1

Suma $3$ y $1$ .

$\frac{4}{3 + 3}$

Paso 5.3.2.2

Suma $3$ y $3$ .

$\frac{4}{6}$

Paso 5.3.2.3

Cancela el factor común de $4$ y $6$ .

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Paso 5.3.2.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 (2)}{6}$

Paso 5.3.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

Paso 5.3.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

Paso 5.3.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{3}$

Paso 5.4

Los huecos en la gráfica son los puntos en los que cualquiera de los factores cancelados es igual a $0$ .

$(3, \frac{2}{3})$

Paso 6