Álgebra Ejemplos

$(\frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2}) (\frac{\sqrt{2}}{2} - i \sqrt{2})$

Paso 1

Expande $(\frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2}) (\frac{\sqrt{2}}{2} - i \sqrt{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} - i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} - i \sqrt{2})$

Paso 1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} - i \sqrt{2})$

Paso 1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Paso 2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 2.1.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Paso 2.1.1.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Paso 2.1.1.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Paso 2.1.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Paso 2.1.1.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Paso 2.1.1.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Paso 2.1.2

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 2.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Paso 2.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Paso 2.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Paso 2.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Paso 2.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2^{1}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Paso 2.1.2.5

Evalúa el exponente.

$\frac{2}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Paso 2.1.3

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 2.1.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Paso 2.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.3.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Paso 2.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Paso 2.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Paso 2.1.4

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2})$ .

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Paso 2.1.4.1

Combina $\frac{\sqrt{2}}{2}$ y $i$ .

$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2} \sqrt{2} + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Paso 2.1.4.2

Combina $\sqrt{2}$ y $\frac{\sqrt{2} i}{2}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} i)}{2} + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Paso 2.1.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2} i}{2} + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Paso 2.1.4.4

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1} i}{2} + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Paso 2.1.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1} i}{2} + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Paso 2.1.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2} i}{2} + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Paso 2.1.5

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 2.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} i}{2} + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Paso 2.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} i}{2} + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Paso 2.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}} i}{2} + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Paso 2.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}} i}{2} + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Paso 2.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} - \frac{2^{1} i}{2} + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Paso 2.1.5.5

Evalúa el exponente.

$\frac{1}{2} - \frac{2 i}{2} + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Paso 2.1.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} - \frac{2 i}{2} + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Paso 2.1.6.2

Divide $i$ por $1$ .

$\frac{1}{2} - i + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Paso 2.1.7

Multiplica $i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 2.1.7.1

Combina $\frac{\sqrt{2}}{2}$ y $i$ .

$\frac{1}{2} - i + \frac{\sqrt{2} i}{2} \sqrt{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Paso 2.1.7.2

Combina $\frac{\sqrt{2} i}{2}$ y $\sqrt{2}$ .

$\frac{1}{2} - i + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Paso 2.1.7.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2} - i + \frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2} i}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Paso 2.1.7.4

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2} - i + \frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1} i}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Paso 2.1.7.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2} - i + \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1} i}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Paso 2.1.7.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{2} - i + \frac{{\sqrt{2}}^{2} i}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Paso 2.1.8

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 2.1.8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} - i + \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} i}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Paso 2.1.8.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} - i + \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} i}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Paso 2.1.8.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{1}{2} - i + \frac{2^{\frac{2}{2}} i}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Paso 2.1.8.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.8.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} - i + \frac{2^{\frac{2}{2}} i}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Paso 2.1.8.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} - i + \frac{2^{1} i}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Paso 2.1.8.5

Evalúa el exponente.

$\frac{1}{2} - i + \frac{2 i}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Paso 2.1.9

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.9.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} - i + \frac{2 i}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Paso 2.1.9.2

Divide $i$ por $1$ .

$\frac{1}{2} - i + i + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Paso 2.1.10

Multiplica $i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$ .

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Paso 2.1.10.1

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2} - i + i + \sqrt{2} (- (i^{1} i) \sqrt{2})$

Paso 2.1.10.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2} - i + i + \sqrt{2} (- (i^{1} i^{1}) \sqrt{2})$

Paso 2.1.10.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2} - i + i + \sqrt{2} (- i^{1 + 1} \sqrt{2})$

Paso 2.1.10.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{2} - i + i + \sqrt{2} (- i^{2} \sqrt{2})$

Paso 2.1.10.5

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2} - i + i - i^{2} ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})$

Paso 2.1.10.6

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2} - i + i - i^{2} ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})$

Paso 2.1.10.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2} - i + i - i^{2} {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Paso 2.1.10.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{2} - i + i - i^{2} {\sqrt{2}}^{2}$

Paso 2.1.11

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{1}{2} - i + i - - 1 {\sqrt{2}}^{2}$

Paso 2.1.12

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} - i + i + 1 {\sqrt{2}}^{2}$

Paso 2.1.13

Multiplica ${\sqrt{2}}^{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} - i + i + {\sqrt{2}}^{2}$

Paso 2.1.14

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 2.1.14.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} - i + i + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 2.1.14.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} - i + i + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 2.1.14.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{1}{2} - i + i + 2^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.1.14.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.14.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} - i + i + 2^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.1.14.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} - i + i + 2^{1}$

Paso 2.1.14.5

Evalúa el exponente.

$\frac{1}{2} - i + i + 2$

Paso 2.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2} - i + i$

Paso 2.3

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2} - i + i$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 + 2 \cdot 2}{2} - i + i$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1 + 4}{2} - i + i$

Paso 2.5.2

Suma $1$ y $4$ .

$\frac{5}{2} - i + i$

Paso 2.6

Suma $- i$ y $i$ .

$\frac{5}{2} + 0$

Paso 2.7

Suma $\frac{5}{2}$ y $0$ .

$\frac{5}{2}$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{5}{2}$

Forma decimal:

$2.5$

Forma de número mixto:

$2 \frac{1}{2}$