Álgebra Ejemplos

$x = - \frac{1}{2} y^{2} - 4 y - 7$

Paso 1

Combina $y^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$x = - \frac{y^{2}}{2} - 4 y - 7$

Paso 2

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 2.1.1

Completa el cuadrado de $- \frac{y^{2}}{2} - 4 y - 7$ .

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Paso 2.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$b = - 4$

$c = - 7$

Paso 2.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 (- \frac{1}{2})}$

Paso 2.1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 2.1.1.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (- \frac{1}{2})}$

Paso 2.1.1.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.1.3.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (- \frac{1}{2})}$

Paso 2.1.1.3.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 2}{- \frac{1}{2}}$

Paso 2.1.1.3.2.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = - 2 (- 1 \cdot 2)$

Paso 2.1.1.3.2.3

Multiplica $- 2 (- 1 \cdot 2)$ .

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Paso 2.1.1.3.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$d = - 2 \cdot - 2$

Paso 2.1.1.3.2.3.2

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$d = 4$

Paso 2.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 7 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Paso 2.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.4.2.1.1

Cancela el factor común de ${(- 4)}^{2}$ y $4$ .

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Paso 2.1.1.4.2.1.1.1

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$e = - 7 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Paso 2.1.1.4.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $- 1 (4)$ .

$e = - 7 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Paso 2.1.1.4.2.1.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$e = - 7 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Paso 2.1.1.4.2.1.1.4

Multiplica $4^{2}$ por $1$ .

$e = - 7 - \frac{4^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Paso 2.1.1.4.2.1.1.5

Factoriza $4$ de $4^{2}$ .

$e = - 7 - \frac{4 \cdot 4}{4 (- \frac{1}{2})}$

Paso 2.1.1.4.2.1.1.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.1.4.2.1.1.6.1

Cancela el factor común.

$e = - 7 - \frac{4 \cdot 4}{4 (- \frac{1}{2})}$

Paso 2.1.1.4.2.1.1.6.2

Reescribe la expresión.

$e = - 7 - \frac{4}{- \frac{1}{2}}$

Paso 2.1.1.4.2.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = - 7 - (4 (- 1 \cdot 2))$

Paso 2.1.1.4.2.1.3

Multiplica $- (4 (- 1 \cdot 2))$ .

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Paso 2.1.1.4.2.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$e = - 7 - (4 \cdot - 2)$

Paso 2.1.1.4.2.1.3.2

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$e = - 7 - - 8$

Paso 2.1.1.4.2.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 8$ .

$e = - 7 + 8$

Paso 2.1.1.4.2.2

Suma $- 7$ y $8$ .

$e = 1$

Paso 2.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- \frac{1}{2} {(y + 4)}^{2} + 1$ .

$- \frac{1}{2} {(y + 4)}^{2} + 1$

Paso 2.1.2

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = - \frac{1}{2} \cdot {(y + 4)}^{2} + 1$

Paso 2.2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$h = 1$

$k = - 4$

Paso 2.3

Como el valor de $a$ es negativo, la parábola se abre hacia la izquierda.

Abre hacia la izquierda

Paso 2.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(1, - 4)$

Paso 2.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 2.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 2.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Paso 2.5.3

Simplifica.

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Paso 2.5.3.1

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 2.5.3.1.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Paso 2.5.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Paso 2.5.3.2

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Paso 2.5.3.3

Divide $4$ por $2$ .

$- \frac{1}{2}$

Paso 2.6

Obtén el foco.

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Paso 2.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada x $h$ si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$(h + p, k)$

Paso 2.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(\frac{1}{2}, - 4)$

Paso 2.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$y = - 4$

Paso 2.8

Obtén la directriz.

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Paso 2.8.1

La directriz de una parábola es la recta vertical que se obtiene al restar $p$ de la coordenada x $h$ del vértice si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$x = h - p$

Paso 2.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $h$ en la fórmula y simplifica.

$x = \frac{3}{2}$

Paso 2.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia la izquierda

Vértice: $(1, - 4)$

Foco: $(\frac{1}{2}, - 4)$

Eje de simetría: $y = - 4$

Directriz: $x = \frac{3}{2}$

Dirección: abre hacia la izquierda

Vértice: $(1, - 4)$

Foco: $(\frac{1}{2}, - 4)$

Eje de simetría: $y = - 4$

Directriz: $x = \frac{3}{2}$

Paso 3

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 3.1

Sustituye el valor $x$ $- 1$ en $f (x) = - 4 - \sqrt{2 (- x + 1)}$ . En este caso, el punto es $(- 1, - 6)$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = - 4 - \sqrt{2 (- (- 1) + 1)}$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- 1) = - 4 - \sqrt{2 (1 + 1)}$

Paso 3.1.2.1.2

Suma $1$ y $1$ .

$f (- 1) = - 4 - \sqrt{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.2.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (- 1) = - 4 - \sqrt{4}$

Paso 3.1.2.1.4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (- 1) = - 4 - \sqrt{2^{2}}$

Paso 3.1.2.1.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (- 1) = - 4 - 1 \cdot 2$

Paso 3.1.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (- 1) = - 4 - 2$

Paso 3.1.2.2

Resta $2$ de $- 4$ .

$f (- 1) = - 6$

Paso 3.1.2.3

La respuesta final es $- 6$ .

$y = - 6$

Paso 3.1.3

Convierte $- 6$ a decimal.

$= - 6$

Paso 3.2

Sustituye el valor $x$ $- 1$ en $f (x) = - 4 + \sqrt{2 (- x + 1)}$ . En este caso, el punto es $(- 1, - 2)$ .

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Paso 3.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = - 4 + \sqrt{2 (- (- 1) + 1)}$

Paso 3.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- 1) = - 4 + \sqrt{2 (1 + 1)}$

Paso 3.2.2.1.2

Suma $1$ y $1$ .

$f (- 1) = - 4 + \sqrt{2 \cdot 2}$

Paso 3.2.2.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (- 1) = - 4 + \sqrt{4}$

Paso 3.2.2.1.4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (- 1) = - 4 + \sqrt{2^{2}}$

Paso 3.2.2.1.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (- 1) = - 4 + 2$

Paso 3.2.2.2

Suma $- 4$ y $2$ .

$f (- 1) = - 2$

Paso 3.2.2.3

La respuesta final es $- 2$ .

$y = - 2$

Paso 3.2.3

Convierte $- 2$ a decimal.

$= - 2$

Paso 3.3

Sustituye el valor $x$ $0$ en $f (x) = - 4 - \sqrt{2 (- x + 1)}$ . En este caso, el punto es $(0, - 5.41421356)$ .

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Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = - 4 - \sqrt{2 (- (0) + 1)}$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f (0) = - 4 - \sqrt{2 (0 + 1)}$

Paso 3.3.2.1.2

Suma $0$ y $1$ .

$f (0) = - 4 - \sqrt{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.2.1.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (0) = - 4 - \sqrt{2}$

Paso 3.3.2.2

La respuesta final es $- 4 - \sqrt{2}$ .

$y = - 4 - \sqrt{2}$

Paso 3.3.3

Convierte $- 4 - \sqrt{2}$ a decimal.

$= - 5.41421356$

Paso 3.4

Sustituye el valor $x$ $0$ en $f (x) = - 4 + \sqrt{2 (- x + 1)}$ . En este caso, el punto es $(0, - 2.58578643)$ .

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Paso 3.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = - 4 + \sqrt{2 (- (0) + 1)}$

Paso 3.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f (0) = - 4 + \sqrt{2 (0 + 1)}$

Paso 3.4.2.1.2

Suma $0$ y $1$ .

$f (0) = - 4 + \sqrt{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.2.1.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (0) = - 4 + \sqrt{2}$

Paso 3.4.2.2

La respuesta final es $- 4 + \sqrt{2}$ .

$y = - 4 + \sqrt{2}$

Paso 3.4.3

Convierte $- 4 + \sqrt{2}$ a decimal.

$= - 2.58578643$

Paso 3.5

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 6 \\ - 1 & - 2 \\ 0 & - 5.41 \\ 0 & - 2.59 \\ 1 & - 4 \end{array}$

Paso 4

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia la izquierda

Vértice: $(1, - 4)$

Foco: $(\frac{1}{2}, - 4)$

Eje de simetría: $y = - 4$

Directriz: $x = \frac{3}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 6 \\ - 1 & - 2 \\ 0 & - 5.41 \\ 0 & - 2.59 \\ 1 & - 4 \end{array}$

Paso 5