Álgebra Ejemplos

$\frac{x - 2}{x + 3} \leq \frac{5}{3}$

Paso 1

Resta $\frac{5}{3}$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{x - 2}{x + 3} - \frac{5}{3} \leq 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{x - 2}{x + 3} - \frac{5}{3}$ .

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Paso 2.1

Para escribir $\frac{x - 2}{x + 3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x - 2}{x + 3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{5}{3} \leq 0$

Paso 2.2

Para escribir $- \frac{5}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x - 2}{x + 3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} \leq 0$

Paso 2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + 3) \cdot 3$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.3.1

Multiplica $\frac{x - 2}{x + 3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(x - 2) \cdot 3}{(x + 3) \cdot 3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} \leq 0$

Paso 2.3.2

Multiplica $\frac{5}{3}$ por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{(x - 2) \cdot 3}{(x + 3) \cdot 3} - \frac{5 (x + 3)}{3 (x + 3)} \leq 0$

Paso 2.3.3

Reordena los factores de $(x + 3) \cdot 3$ .

$\frac{(x - 2) \cdot 3}{3 (x + 3)} - \frac{5 (x + 3)}{3 (x + 3)} \leq 0$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(x - 2) \cdot 3 - 5 (x + 3)}{3 (x + 3)} \leq 0$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot 3 - 2 \cdot 3 - 5 (x + 3)}{3 (x + 3)} \leq 0$

Paso 2.5.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{3 \cdot x - 2 \cdot 3 - 5 (x + 3)}{3 (x + 3)} \leq 0$

Paso 2.5.3

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$\frac{3 \cdot x - 6 - 5 (x + 3)}{3 (x + 3)} \leq 0$

Paso 2.5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x - 6 - 5 x - 5 \cdot 3}{3 (x + 3)} \leq 0$

Paso 2.5.5

Multiplica $- 5$ por $3$ .

$\frac{3 x - 6 - 5 x - 15}{3 (x + 3)} \leq 0$

Paso 2.5.6

Resta $5 x$ de $3 x$ .

$\frac{- 2 x - 6 - 15}{3 (x + 3)} \leq 0$

Paso 2.5.7

Resta $15$ de $- 6$ .

$\frac{- 2 x - 21}{3 (x + 3)} \leq 0$

Paso 2.6

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$\frac{- (2 x) - 21}{3 (x + 3)} \leq 0$

Paso 2.7

Reescribe $- 21$ como $- 1 (21)$ .

$\frac{- (2 x) - 1 (21)}{3 (x + 3)} \leq 0$

Paso 2.8

Factoriza $- 1$ de $- (2 x) - 1 (21)$ .

$\frac{- (2 x + 21)}{3 (x + 3)} \leq 0$

Paso 2.9

Reescribe $- (2 x + 21)$ como $- 1 (2 x + 21)$ .

$\frac{- 1 (2 x + 21)}{3 (x + 3)} \leq 0$

Paso 2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 x + 21}{3 (x + 3)} \leq 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$2 x + 21 = 0$

$x + 3 = 0$

Paso 4

Resta $21$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 21$

Paso 5

Divide cada término en $2 x = - 21$ por $2$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $2 x = - 21$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 21}{2}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 21}{2}$

Paso 5.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 21}{2}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{21}{2}$

Paso 6

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 7

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = - \frac{21}{2}$

$x = - 3$

Paso 8

Consolida las soluciones.

$x = - \frac{21}{2}, - 3$

Paso 9

Obtén el dominio de $- \frac{2 x + 21}{3 (x + 3)}$ .

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Paso 9.1

Establece el denominador en $\frac{2 x + 21}{3 (x + 3)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$3 (x + 3) = 0$

Paso 9.2

Resuelve $x$

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Paso 9.2.1

Divide cada término en $3 (x + 3) = 0$ por $3$ y simplifica.

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Paso 9.2.1.1

Divide cada término en $3 (x + 3) = 0$ por $3$ .

$\frac{3 (x + 3)}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 9.2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.1.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.2.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (x + 3)}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 9.2.1.2.1.2

Divide $x + 3$ por $1$ .

$x + 3 = \frac{0}{3}$

Paso 9.2.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.2.1.3.1

Divide $0$ por $3$ .

$x + 3 = 0$

Paso 9.2.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 9.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Paso 10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - \frac{21}{2}$

$- \frac{21}{2} < x < - 3$

$x > - 3$

Paso 11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 11.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - \frac{21}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - \frac{21}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 13$

Paso 11.1.2

Reemplaza $x$ con $- 13$ en la desigualdad original.

$\frac{(- 13) - 2}{(- 13) + 3} \leq \frac{5}{3}$

Paso 11.1.3

$1.5$ del lado izquierdo es menor que $1.\overline{6}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 11.2

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{21}{2} < x < - 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{21}{2} < x < - 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 7$

Paso 11.2.2

Reemplaza $x$ con $- 7$ en la desigualdad original.

$\frac{(- 7) - 2}{(- 7) + 3} \leq \frac{5}{3}$

Paso 11.2.3

$2.25$ del lado izquierdo es mayor que $1.\overline{6}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 11.3

Prueba un valor en el intervalo $x > - 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > - 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 11.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{(0) - 2}{(0) + 3} \leq \frac{5}{3}$

Paso 11.3.3

$- 0.\overline{6}$ del lado izquierdo es menor que $1.\overline{6}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 11.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - \frac{21}{2}$ Verdadero

$- \frac{21}{2} < x < - 3$ Falso

$x > - 3$ Verdadero

$x < - \frac{21}{2}$ Verdadero

$- \frac{21}{2} < x < - 3$ Falso

$x > - 3$ Verdadero

Paso 12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq - \frac{21}{2}$ o $x > - 3$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x \leq - \frac{21}{2} or x > - 3$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - \frac{21}{2}] \cup (- 3, \infty)$

Paso 14