Álgebra Ejemplos

$y^{2} = x^{2} - 3$

Paso 1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{x^{2} - 3}$

Paso 2

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{x^{2} - 3}$

Paso 2.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{x^{2} - 3}$

Paso 2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{x^{2} - 3}$

$y = - \sqrt{x^{2} - 3}$

$y = \sqrt{x^{2} - 3}$

$y = - \sqrt{x^{2} - 3}$

Paso 3

Establece el radicando en $\sqrt{x^{2} - 3}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x^{2} - 3 \geq 0$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Suma $3$ a ambos lados de la desigualdad.

$x^{2} \geq 3$

Paso 4.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la desigualdad para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{3}$

Paso 4.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.1

Retira los términos de abajo del radical.

$| x | \geq \sqrt{3}$

Paso 4.4

Escribe $| x | \geq \sqrt{3}$ como una función definida por partes.

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Paso 4.4.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$x \geq 0$

Paso 4.4.2

En la parte donde $x$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$x \geq \sqrt{3}$

Paso 4.4.3

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$x < 0$

Paso 4.4.4

En la parte donde $x$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por $- 1$ .

$- x \geq \sqrt{3}$

Paso 4.4.5

Escribe como una función definida por partes.

${\begin{cases} x \geq \sqrt{3} & x \geq 0 \\ - x \geq \sqrt{3} & x < 0 \end{cases}$

Paso 4.5

Obtén la intersección de $x \geq \sqrt{3}$ y $x \geq 0$ .

$x \geq \sqrt{3}$

Paso 4.6

Divide cada término en $- x \geq \sqrt{3}$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 4.6.1

Divide cada término de $- x \geq \sqrt{3}$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

Paso 4.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.6.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

Paso 4.6.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

Paso 4.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.6.3.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\sqrt{3}}{- 1}$ .

$x \leq - 1 \cdot \sqrt{3}$

Paso 4.6.3.2

Reescribe $- 1 \cdot \sqrt{3}$ como $- \sqrt{3}$ .

$x \leq - \sqrt{3}$

Paso 4.7

Obtén la unión de las soluciones.

$x \leq - \sqrt{3}$ o $x \geq \sqrt{3}$

Paso 5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - \sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \leq - \sqrt{3}, x \geq \sqrt{3}}$

Paso 6

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | y \in ℝ}$

Paso 7

Determina el dominio y el rango.

Dominio: $(- \infty, - \sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, \infty), {x | x \leq - \sqrt{3}, x \geq \sqrt{3}}$

Rango: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Paso 8