Álgebra Ejemplos

$2 \sqrt{x - 8} < 24$

Paso 1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${(2 \sqrt{x - 8})}^{2} < 24^{2}$

Paso 2

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x - 8}$ como ${(x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 24^{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${(2 {(x - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 {(x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 24^{2}$

Paso 2.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 {({(x - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 24^{2}$

Paso 2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(x - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x - 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 24^{2}$

Paso 2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$4 {(x - 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 24^{2}$

Paso 2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$4 {(x - 8)}^{1} < 24^{2}$

Paso 2.2.1.4

Simplifica.

$4 (x - 8) < 24^{2}$

Paso 2.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x + 4 \cdot - 8 < 24^{2}$

Paso 2.2.1.6

Multiplica $4$ por $- 8$ .

$4 x - 32 < 24^{2}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Eleva $24$ a la potencia de $2$ .

$4 x - 32 < 576$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la desigualdad.

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Paso 3.1.1

Suma $32$ a ambos lados de la desigualdad.

$4 x < 576 + 32$

Paso 3.1.2

Suma $576$ y $32$ .

$4 x < 608$

Paso 3.2

Divide cada término en $4 x < 608$ por $4$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $4 x < 608$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} < \frac{608}{4}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} < \frac{608}{4}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x < \frac{608}{4}$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Divide $608$ por $4$ .

$x < 152$

Paso 4

Obtén el dominio de $2 \sqrt{x - 8} - 24$ .

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Paso 4.1

Establece el radicando en $\sqrt{x - 8}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x - 8 \geq 0$

Paso 4.2

Suma $8$ a ambos lados de la desigualdad.

$x \geq 8$

Paso 4.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[8, \infty)$

Paso 5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 8$

$8 < x < 152$

$x > 152$

Paso 6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 8$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 8$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 6.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$2 \sqrt{(0) - 8} < 24$

Paso 6.1.3

El lado izquierdo no es igual al lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 6.2

Prueba un valor en el intervalo $8 < x < 152$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.2.1

Elije un valor en el intervalo $8 < x < 152$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 10$

Paso 6.2.2

Reemplaza $x$ con $10$ en la desigualdad original.

$2 \sqrt{(10) - 8} < 24$

Paso 6.2.3

$2.82842712$ del lado izquierdo es menor que $24$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 6.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 152$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 152$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 154$

Paso 6.3.2

Reemplaza $x$ con $154$ en la desigualdad original.

$2 \sqrt{(154) - 8} < 24$

Paso 6.3.3

$24.16609194$ del lado izquierdo no es menor que $24$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 8$ Falso

$8 < x < 152$ Verdadero

$x > 152$ Falso

$x < 8$ Falso

$8 < x < 152$ Verdadero

$x > 152$ Falso

Paso 7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$8 < x < 152$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$8 < x < 152$

Notación de intervalo:

$(8, 152)$

Paso 9