Álgebra Ejemplos

$\sqrt{25 y^{2} + 40 y + 16} = 5 y + 4$

Paso 1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{25 y^{2} + 40 y + 16}}^{2} = {(5 y + 4)}^{2}$

Paso 2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{25 y^{2} + 40 y + 16}$ como ${(25 y^{2} + 40 y + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(25 y^{2} + 40 y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(5 y + 4)}^{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${({(25 y^{2} + 40 y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(25 y^{2} + 40 y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(25 y^{2} + 40 y + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 y + 4)}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(25 y^{2} + 40 y + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 y + 4)}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(25 y^{2} + 40 y + 16)}^{1} = {(5 y + 4)}^{2}$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

$25 y^{2} + 40 y + 16 = {(5 y + 4)}^{2}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica ${(5 y + 4)}^{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe ${(5 y + 4)}^{2}$ como $(5 y + 4) (5 y + 4)$ .

$25 y^{2} + 40 y + 16 = (5 y + 4) (5 y + 4)$

Paso 2.3.1.2

Expande $(5 y + 4) (5 y + 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$25 y^{2} + 40 y + 16 = 5 y (5 y + 4) + 4 (5 y + 4)$

Paso 2.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$25 y^{2} + 40 y + 16 = 5 y (5 y) + 5 y \cdot 4 + 4 (5 y + 4)$

Paso 2.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$25 y^{2} + 40 y + 16 = 5 y (5 y) + 5 y \cdot 4 + 4 (5 y) + 4 \cdot 4$

Paso 2.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$25 y^{2} + 40 y + 16 = 5 \cdot 5 y \cdot y + 5 y \cdot 4 + 4 (5 y) + 4 \cdot 4$

Paso 2.3.1.3.1.2

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.1.3.1.2.1

Mueve $y$ .

$25 y^{2} + 40 y + 16 = 5 \cdot 5 (y \cdot y) + 5 y \cdot 4 + 4 (5 y) + 4 \cdot 4$

Paso 2.3.1.3.1.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$25 y^{2} + 40 y + 16 = 5 \cdot 5 y^{2} + 5 y \cdot 4 + 4 (5 y) + 4 \cdot 4$

Paso 2.3.1.3.1.3

Multiplica $5$ por $5$ .

$25 y^{2} + 40 y + 16 = 25 y^{2} + 5 y \cdot 4 + 4 (5 y) + 4 \cdot 4$

Paso 2.3.1.3.1.4

Multiplica $4$ por $5$ .

$25 y^{2} + 40 y + 16 = 25 y^{2} + 20 y + 4 (5 y) + 4 \cdot 4$

Paso 2.3.1.3.1.5

Multiplica $5$ por $4$ .

$25 y^{2} + 40 y + 16 = 25 y^{2} + 20 y + 20 y + 4 \cdot 4$

Paso 2.3.1.3.1.6

Multiplica $4$ por $4$ .

$25 y^{2} + 40 y + 16 = 25 y^{2} + 20 y + 20 y + 16$

Paso 2.3.1.3.2

Suma $20 y$ y $20 y$ .

$25 y^{2} + 40 y + 16 = 25 y^{2} + 40 y + 16$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que contengan $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Resta $25 y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$25 y^{2} + 40 y + 16 - 25 y^{2} = 40 y + 16$

Paso 3.1.2

Resta $40 y$ de ambos lados de la ecuación.

$25 y^{2} + 40 y + 16 - 25 y^{2} - 40 y = 16$

Paso 3.1.3

Combina los términos opuestos en $25 y^{2} + 40 y + 16 - 25 y^{2} - 40 y$ .

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Paso 3.1.3.1

Resta $25 y^{2}$ de $25 y^{2}$ .

$40 y + 16 + 0 - 40 y = 16$

Paso 3.1.3.2

Suma $40 y + 16$ y $0$ .

$40 y + 16 - 40 y = 16$

Paso 3.1.3.3

Resta $40 y$ de $40 y$ .

$0 + 16 = 16$

Paso 3.1.3.4

Suma $0$ y $16$ .

$16 = 16$

Paso 3.2

Como $16 = 16$ , la ecuación siempre será verdadera para cualquier valor de $y$ .

Todos los números reales

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Todos los números reales

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$