Álgebra Ejemplos

$\frac{\frac{x^{2} - 3 x - 10}{x + 3}}{\frac{2 x^{2} - 7 x - 15}{x^{2} - 9}}$

Paso 1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10}{x + 3} \cdot \frac{x^{2} - 9}{2 x^{2} - 7 x - 15}$

Paso 2

Factoriza $x^{2} - 3 x - 10$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 10$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 5, 2$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{x + 3} \cdot \frac{x^{2} - 9}{2 x^{2} - 7 x - 15}$

Paso 3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{x + 3} \cdot \frac{x^{2} - 3^{2}}{2 x^{2} - 7 x - 15}$

Paso 3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{x + 3} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{2 x^{2} - 7 x - 15}$

Paso 4

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ y cuya suma es $b = - 7$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $- 7$ de $- 7 x$ .

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{x + 3} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{2 x^{2} - 7 (x) - 15}$

Paso 4.1.2

Reescribe $- 7$ como $3$ más $- 10$

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{x + 3} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{2 x^{2} + (3 - 10) x - 15}$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{x + 3} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{2 x^{2} + 3 x - 10 x - 15}$

Paso 4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{x + 3} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{(2 x^{2} + 3 x) - 10 x - 15}$

Paso 4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{x + 3} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{x (2 x + 3) - 5 (2 x + 3)}$

Paso 4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x + 3$ .

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{x + 3} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{(2 x + 3) (x - 5)}$

Paso 5

Cancela el factor común de $x - 5$ .

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Paso 5.1

Factoriza $x - 5$ de $(2 x + 3) (x - 5)$ .

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{x + 3} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{(x - 5) (2 x + 3)}$

Paso 5.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{x + 3} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{(x - 5) (2 x + 3)}$

Paso 5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x + 2}{x + 3} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{2 x + 3}$

Paso 6

Cancela el factor común de $x + 3$ .

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Paso 6.1

Cancela el factor común.

$\frac{x + 2}{x + 3} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{2 x + 3}$

Paso 6.2

Reescribe la expresión.

$(x + 2) \frac{x - 3}{2 x + 3}$

Paso 7

Multiplica $x + 2$ por $\frac{x - 3}{2 x + 3}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 3)}{2 x + 3}$