Álgebra Ejemplos

$\frac{\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}}$

Paso 1

Multiplica $\frac{\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}}$ por $\frac{\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}}$ .

$\frac{\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}}$

Paso 2

Combina fracciones.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}}$ por $\frac{\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}}$ .

$\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}) (\sqrt{x} - \sqrt{x + 1})}{(\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}) (\sqrt{x} - \sqrt{x + 1})}$

Paso 2.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}) (\sqrt{x} - \sqrt{x + 1})}{{\sqrt{x}}^{2} - \sqrt{x (x + 1)} + \sqrt{(x + 1) x} - {\sqrt{x + 1}}^{2}}$

Paso 2.3

Simplifica.

$\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}) (\sqrt{x} - \sqrt{x + 1})}{- 1}$

Paso 2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}) (\sqrt{x} - \sqrt{x + 1})}{- 1}$ .

$- 1 \cdot ((\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}) (\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}))$

Paso 2.4.2

Reescribe $- 1 \cdot ((\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}) (\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}))$ como $- ((\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}) (\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}))$ .

$- ((\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}) (\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}))$

Paso 3

Expande $(\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}) (\sqrt{x} - \sqrt{x + 1})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- (\sqrt{x} (\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}) - \sqrt{x + 1} (\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}))$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- (\sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} (- \sqrt{x + 1}) - \sqrt{x + 1} (\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}))$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- (\sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} (- \sqrt{x + 1}) - \sqrt{x + 1} \sqrt{x} - \sqrt{x + 1} (- \sqrt{x + 1}))$

Paso 4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica $\sqrt{x} \sqrt{x}$ .

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Paso 4.1.1.1

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$- ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x} + \sqrt{x} (- \sqrt{x + 1}) - \sqrt{x + 1} \sqrt{x} - \sqrt{x + 1} (- \sqrt{x + 1}))$

Paso 4.1.1.2

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$- ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1} + \sqrt{x} (- \sqrt{x + 1}) - \sqrt{x + 1} \sqrt{x} - \sqrt{x + 1} (- \sqrt{x + 1}))$

Paso 4.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- ({\sqrt{x}}^{1 + 1} + \sqrt{x} (- \sqrt{x + 1}) - \sqrt{x + 1} \sqrt{x} - \sqrt{x + 1} (- \sqrt{x + 1}))$

Paso 4.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$- ({\sqrt{x}}^{2} + \sqrt{x} (- \sqrt{x + 1}) - \sqrt{x + 1} \sqrt{x} - \sqrt{x + 1} (- \sqrt{x + 1}))$

Paso 4.1.2

Reescribe ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Paso 4.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{x} (- \sqrt{x + 1}) - \sqrt{x + 1} \sqrt{x} - \sqrt{x + 1} (- \sqrt{x + 1}))$

Paso 4.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{x} (- \sqrt{x + 1}) - \sqrt{x + 1} \sqrt{x} - \sqrt{x + 1} (- \sqrt{x + 1}))$

Paso 4.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- (x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} (- \sqrt{x + 1}) - \sqrt{x + 1} \sqrt{x} - \sqrt{x + 1} (- \sqrt{x + 1}))$

Paso 4.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$- (x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} (- \sqrt{x + 1}) - \sqrt{x + 1} \sqrt{x} - \sqrt{x + 1} (- \sqrt{x + 1}))$

Paso 4.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$- (x^{1} + \sqrt{x} (- \sqrt{x + 1}) - \sqrt{x + 1} \sqrt{x} - \sqrt{x + 1} (- \sqrt{x + 1}))$

Paso 4.1.2.5

Simplifica.

$- (x + \sqrt{x} (- \sqrt{x + 1}) - \sqrt{x + 1} \sqrt{x} - \sqrt{x + 1} (- \sqrt{x + 1}))$

Paso 4.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- (x - \sqrt{x} \sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 1} \sqrt{x} - \sqrt{x + 1} (- \sqrt{x + 1}))$

Paso 4.1.4

Combina con la regla del producto para radicales.

$- (x - \sqrt{(x + 1) x} - \sqrt{x + 1} \sqrt{x} - \sqrt{x + 1} (- \sqrt{x + 1}))$

Paso 4.1.5

Combina con la regla del producto para radicales.

$- (x - \sqrt{(x + 1) x} - \sqrt{x (x + 1)} - \sqrt{x + 1} (- \sqrt{x + 1}))$

Paso 4.1.6

Multiplica $- \sqrt{x + 1} (- \sqrt{x + 1})$ .

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Paso 4.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- (x - \sqrt{(x + 1) x} - \sqrt{x (x + 1)} + 1 \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1})$

Paso 4.1.6.2

Multiplica $\sqrt{x + 1}$ por $1$ .

$- (x - \sqrt{(x + 1) x} - \sqrt{x (x + 1)} + \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1})$

Paso 4.1.6.3

Eleva $\sqrt{x + 1}$ a la potencia de $1$ .

$- (x - \sqrt{(x + 1) x} - \sqrt{x (x + 1)} + {\sqrt{x + 1}}^{1} \sqrt{x + 1})$

Paso 4.1.6.4

Eleva $\sqrt{x + 1}$ a la potencia de $1$ .

$- (x - \sqrt{(x + 1) x} - \sqrt{x (x + 1)} + {\sqrt{x + 1}}^{1} {\sqrt{x + 1}}^{1})$

Paso 4.1.6.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- (x - \sqrt{(x + 1) x} - \sqrt{x (x + 1)} + {\sqrt{x + 1}}^{1 + 1})$

Paso 4.1.6.6

Suma $1$ y $1$ .

$- (x - \sqrt{(x + 1) x} - \sqrt{x (x + 1)} + {\sqrt{x + 1}}^{2})$

Paso 4.1.7

Reescribe ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ como $x + 1$ .

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Paso 4.1.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- (x - \sqrt{(x + 1) x} - \sqrt{x (x + 1)} + {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})$

Paso 4.1.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (x - \sqrt{(x + 1) x} - \sqrt{x (x + 1)} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2})$

Paso 4.1.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- (x - \sqrt{(x + 1) x} - \sqrt{x (x + 1)} + {(x + 1)}^{\frac{2}{2}})$

Paso 4.1.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.7.4.1

Cancela el factor común.

$- (x - \sqrt{(x + 1) x} - \sqrt{x (x + 1)} + {(x + 1)}^{\frac{2}{2}})$

Paso 4.1.7.4.2

Reescribe la expresión.

$- (x - \sqrt{(x + 1) x} - \sqrt{x (x + 1)} + {(x + 1)}^{1})$

Paso 4.1.7.5

Simplifica.

$- (x - \sqrt{(x + 1) x} - \sqrt{x (x + 1)} + x + 1)$

Paso 4.2

Suma $x$ y $x$ .

$- (2 x - \sqrt{(x + 1) x} - \sqrt{x (x + 1)} + 1)$

Paso 4.3

Resta $\sqrt{x (x + 1)}$ de $- \sqrt{(x + 1) x}$ .

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Paso 4.3.1

Reordena $x + 1$ y $x$ .

$- (2 x - \sqrt{x (x + 1)} - \sqrt{x (x + 1)} + 1)$

Paso 4.3.2

Resta $\sqrt{x (x + 1)}$ de $- \sqrt{x (x + 1)}$ .

$- (2 x - 2 \sqrt{x (x + 1)} + 1)$

Paso 5

Aplica la propiedad distributiva.

$- (2 x) - (- 2 \sqrt{x (x + 1)}) - 1 \cdot 1$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 x - (- 2 \sqrt{x (x + 1)}) - 1 \cdot 1$

Paso 6.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$- 2 x + 2 \sqrt{x (x + 1)} - 1 \cdot 1$

Paso 6.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 2 x + 2 \sqrt{x (x + 1)} - 1$