Álgebra Ejemplos

$S (r) = r^{5} + 4 r^{4} - 13 r^{3} - 10 r^{2} - 12 r + 72$

Paso 1

Establece $r^{5} + 4 r^{4} - 13 r^{3} - 10 r^{2} - 12 r + 72$ igual a $0$ .

$r^{5} + 4 r^{4} - 13 r^{3} - 10 r^{2} - 12 r + 72 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Reagrupa los términos.

$r^{5} - 13 r^{3} + 72 + 4 r^{4} - 10 r^{2} - 12 r = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $r^{5} - 13 r^{3} + 72$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 2.1.2.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 72, \pm 2, \pm 36, \pm 3, \pm 24, \pm 4, \pm 18, \pm 6, \pm 12, \pm 8, \pm 9$

$q = \pm 1$

Paso 2.1.2.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 72, \pm 2, \pm 36, \pm 3, \pm 24, \pm 4, \pm 18, \pm 6, \pm 12, \pm 8, \pm 9$

Paso 2.1.2.3

Sustituye $2$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $2$ es una raíz del polinomio.

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Paso 2.1.2.3.1

Sustituye $2$ en el polinomio.

$2^{5} - 13 \cdot 2^{3} + 72$

Paso 2.1.2.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$32 - 13 \cdot 2^{3} + 72$

Paso 2.1.2.3.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$32 - 13 \cdot 8 + 72$

Paso 2.1.2.3.4

Multiplica $- 13$ por $8$ .

$32 - 104 + 72$

Paso 2.1.2.3.5

Resta $104$ de $32$ .

$- 72 + 72$

Paso 2.1.2.3.6

Suma $- 72$ y $72$ .

$0$

Paso 2.1.2.4

Como $2$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $r - 2$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{r^{5} - 13 r^{3} + 72}{r - 2}$

Paso 2.1.2.5

Divide $r^{5} - 13 r^{3} + 72$ por $r - 2$ .

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Paso 2.1.2.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$r$

$2$

$r^{5}$

$0 r^{4}$

$13 r^{3}$

$0 r^{2}$

$0 r$

$72$

Paso 2.1.2.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $r^{5}$ por el término de mayor orden en el divisor $r$ .

$r^{4}$

$r$

$2$

$r^{5}$

$0 r^{4}$

$13 r^{3}$

$0 r^{2}$

$0 r$

$72$

Paso 2.1.2.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$r^{4}$

$r$

$2$

$r^{5}$

$0 r^{4}$

$13 r^{3}$

$0 r^{2}$

$0 r$

$72$

$r^{5}$

$2 r^{4}$

Paso 2.1.2.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $r^{5} - 2 r^{4}$ .

$r^{4}$

$r$

$2$

$r^{5}$

$0 r^{4}$

$13 r^{3}$

$0 r^{2}$

$0 r$

$72$

$r^{5}$

$2 r^{4}$

Paso 2.1.2.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$r^{4}$

$r$

$2$

$r^{5}$

$0 r^{4}$

$13 r^{3}$

$0 r^{2}$

$0 r$

$72$

$r^{5}$

$2 r^{4}$

Paso 2.1.2.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$r^{4}$

$r$

$2$

$r^{5}$

$0 r^{4}$

$13 r^{3}$

$0 r^{2}$

$0 r$

$72$

$r^{5}$

$2 r^{4}$

$13 r^{3}$

Paso 2.1.2.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 r^{4}$ por el término de mayor orden en el divisor $r$ .

$r^{4}$

$2 r^{3}$

$r$

$2$

$r^{5}$

$0 r^{4}$

$13 r^{3}$

$0 r^{2}$

$0 r$

$72$

$r^{5}$

$2 r^{4}$

$13 r^{3}$

Paso 2.1.2.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$r^{4}$

$2 r^{3}$

$r$

$2$

$r^{5}$

$0 r^{4}$

$13 r^{3}$

$0 r^{2}$

$0 r$

$72$

$r^{5}$

$2 r^{4}$

$13 r^{3}$

$2 r^{4}$

$4 r^{3}$

Paso 2.1.2.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 r^{4} - 4 r^{3}$ .

$r^{4}$

$2 r^{3}$

$r$

$2$

$r^{5}$

$0 r^{4}$

$13 r^{3}$

$0 r^{2}$

$0 r$

$72$

$r^{5}$

$2 r^{4}$

$13 r^{3}$

$2 r^{4}$

$4 r^{3}$

Paso 2.1.2.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$r^{4}$

$2 r^{3}$

$r$

$2$

$r^{5}$

$0 r^{4}$

$13 r^{3}$

$0 r^{2}$

$0 r$

$72$

$r^{5}$

$2 r^{4}$

$13 r^{3}$

$2 r^{4}$

$4 r^{3}$

$9 r^{3}$

Paso 2.1.2.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$r^{4}$

$2 r^{3}$

$r$

$2$

$r^{5}$

$0 r^{4}$

$13 r^{3}$

$0 r^{2}$

$0 r$

$72$

$r^{5}$

$2 r^{4}$

$13 r^{3}$

$2 r^{4}$

$4 r^{3}$

$9 r^{3}$

$0 r^{2}$

Paso 2.1.2.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 9 r^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $r$ .

$r^{4}$

$2 r^{3}$

$9 r^{2}$

$r$

$2$

$r^{5}$

$0 r^{4}$

$13 r^{3}$

$0 r^{2}$

$0 r$

$72$

$r^{5}$

$2 r^{4}$

$13 r^{3}$

$2 r^{4}$

$4 r^{3}$

$9 r^{3}$

$0 r^{2}$

Paso 2.1.2.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$r^{4}$

$2 r^{3}$

$9 r^{2}$

$r$

$2$

$r^{5}$

$0 r^{4}$

$13 r^{3}$

$0 r^{2}$

$0 r$

$72$

$r^{5}$

$2 r^{4}$

$13 r^{3}$

$2 r^{4}$

$4 r^{3}$

$9 r^{3}$

$0 r^{2}$

$9 r^{3}$

$18 r^{2}$

Paso 2.1.2.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 9 r^{3} + 18 r^{2}$ .

$r^{4}$

$2 r^{3}$

$9 r^{2}$

$r$

$2$

$r^{5}$

$0 r^{4}$

$13 r^{3}$

$0 r^{2}$

$0 r$

$72$

$r^{5}$

$2 r^{4}$

$13 r^{3}$

$2 r^{4}$

$4 r^{3}$

$9 r^{3}$

$0 r^{2}$

$9 r^{3}$

$18 r^{2}$

Paso 2.1.2.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$r^{4}$

$2 r^{3}$

$9 r^{2}$

$r$

$2$

$r^{5}$

$0 r^{4}$

$13 r^{3}$

$0 r^{2}$

$0 r$

$72$

$r^{5}$

$2 r^{4}$

$13 r^{3}$

$2 r^{4}$

$4 r^{3}$

$9 r^{3}$

$0 r^{2}$

$9 r^{3}$

$18 r^{2}$

Paso 2.1.2.5.16

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$r^{4}$

$2 r^{3}$

$9 r^{2}$

$r$

$2$

$r^{5}$

$0 r^{4}$

$13 r^{3}$

$0 r^{2}$

$0 r$

$72$

$r^{5}$

$2 r^{4}$

$13 r^{3}$

$2 r^{4}$

$4 r^{3}$

$9 r^{3}$

$0 r^{2}$

$9 r^{3}$

$18 r^{2}$

$0 r$

Paso 2.1.2.5.17

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 18 r^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $r$ .

$r^{4}$

$2 r^{3}$

$9 r^{2}$

$18 r$

$r$

$2$

$r^{5}$

$0 r^{4}$

$13 r^{3}$

$0 r^{2}$

$0 r$

$72$

$r^{5}$

$2 r^{4}$

$13 r^{3}$

$2 r^{4}$

$4 r^{3}$

$9 r^{3}$

$0 r^{2}$

$9 r^{3}$

$18 r^{2}$

$0 r$

Paso 2.1.2.5.18

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$r^{4}$

$2 r^{3}$

$9 r^{2}$

$18 r$

$r$

$2$

$r^{5}$

$0 r^{4}$

$13 r^{3}$

$0 r^{2}$

$0 r$

$72$

$r^{5}$

$2 r^{4}$

$13 r^{3}$

$2 r^{4}$

$4 r^{3}$

$9 r^{3}$

$0 r^{2}$

$9 r^{3}$

$18 r^{2}$

$0 r$

$18 r^{2}$

$36 r$

Paso 2.1.2.5.19

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 18 r^{2} + 36 r$ .

$r^{4}$

$2 r^{3}$

$9 r^{2}$

$18 r$

$r$

$2$

$r^{5}$

$0 r^{4}$

$13 r^{3}$

$0 r^{2}$

$0 r$

$72$

$r^{5}$

$2 r^{4}$

$13 r^{3}$

$2 r^{4}$

$4 r^{3}$

$9 r^{3}$

$0 r^{2}$

$9 r^{3}$

$18 r^{2}$

$0 r$

$18 r^{2}$

$36 r$

Paso 2.1.2.5.20

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$r^{4}$

$2 r^{3}$

$9 r^{2}$

$18 r$

$r$

$2$

$r^{5}$

$0 r^{4}$

$13 r^{3}$

$0 r^{2}$

$0 r$

$72$

$r^{5}$

$2 r^{4}$

$13 r^{3}$

$2 r^{4}$

$4 r^{3}$

$9 r^{3}$

$0 r^{2}$

$9 r^{3}$

$18 r^{2}$

$0 r$

$18 r^{2}$

$36 r$

Paso 2.1.2.5.21

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$r^{4}$

$2 r^{3}$

$9 r^{2}$

$18 r$

$r$

$2$

$r^{5}$

$0 r^{4}$

$13 r^{3}$

$0 r^{2}$

$0 r$

$72$

$r^{5}$

$2 r^{4}$

$13 r^{3}$

$2 r^{4}$

$4 r^{3}$

$9 r^{3}$

$0 r^{2}$

$9 r^{3}$

$18 r^{2}$

$0 r$

$18 r^{2}$

$36 r$

$72$

Paso 2.1.2.5.22

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 36 r$ por el término de mayor orden en el divisor $r$ .

$r^{4}$

$2 r^{3}$

$9 r^{2}$

$18 r$

$36$

$r$

$2$

$r^{5}$

$0 r^{4}$

$13 r^{3}$

$0 r^{2}$

$0 r$

$72$

$r^{5}$

$2 r^{4}$

$13 r^{3}$

$2 r^{4}$

$4 r^{3}$

$9 r^{3}$

$0 r^{2}$

$9 r^{3}$

$18 r^{2}$

$0 r$

$18 r^{2}$

$36 r$

$72$

Paso 2.1.2.5.23

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$r^{4}$

$2 r^{3}$

$9 r^{2}$

$18 r$

$36$

$r$

$2$

$r^{5}$

$0 r^{4}$

$13 r^{3}$

$0 r^{2}$

$0 r$

$72$

$r^{5}$

$2 r^{4}$

$13 r^{3}$

$2 r^{4}$

$4 r^{3}$

$9 r^{3}$

$0 r^{2}$

$9 r^{3}$

$18 r^{2}$

$0 r$

$18 r^{2}$

$36 r$

$72$

$36 r$

$72$

Paso 2.1.2.5.24

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 36 r + 72$ .

$r^{4}$

$2 r^{3}$

$9 r^{2}$

$18 r$

$36$

$r$

$2$

$r^{5}$

$0 r^{4}$

$13 r^{3}$

$0 r^{2}$

$0 r$

$72$

$r^{5}$

$2 r^{4}$

$13 r^{3}$

$2 r^{4}$

$4 r^{3}$

$9 r^{3}$

$0 r^{2}$

$9 r^{3}$

$18 r^{2}$

$0 r$

$18 r^{2}$

$36 r$

$72$

$36 r$

$72$

Paso 2.1.2.5.25

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$r^{4}$

$2 r^{3}$

$9 r^{2}$

$18 r$

$36$

$r$

$2$

$r^{5}$

$0 r^{4}$

$13 r^{3}$

$0 r^{2}$

$0 r$

$72$

$r^{5}$

$2 r^{4}$

$13 r^{3}$

$2 r^{4}$

$4 r^{3}$

$9 r^{3}$

$0 r^{2}$

$9 r^{3}$

$18 r^{2}$

$0 r$

$18 r^{2}$

$36 r$

$72$

$36 r$

$72$

$0$

Paso 2.1.2.5.26

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$r^{4} + 2 r^{3} - 9 r^{2} - 18 r - 36$

Paso 2.1.2.6

Escribe $r^{5} - 13 r^{3} + 72$ como un conjunto de factores.

$(r - 2) (r^{4} + 2 r^{3} - 9 r^{2} - 18 r - 36) + 4 r^{4} - 10 r^{2} - 12 r = 0$

Paso 2.1.3

Factoriza $2 r$ de $4 r^{4} - 10 r^{2} - 12 r$ .

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Paso 2.1.3.1

Factoriza $2 r$ de $4 r^{4}$ .

$(r - 2) (r^{4} + 2 r^{3} - 9 r^{2} - 18 r - 36) + 2 r (2 r^{3}) - 10 r^{2} - 12 r = 0$

Paso 2.1.3.2

Factoriza $2 r$ de $- 10 r^{2}$ .

$(r - 2) (r^{4} + 2 r^{3} - 9 r^{2} - 18 r - 36) + 2 r (2 r^{3}) + 2 r (- 5 r) - 12 r = 0$

Paso 2.1.3.3

Factoriza $2 r$ de $- 12 r$ .

$(r - 2) (r^{4} + 2 r^{3} - 9 r^{2} - 18 r - 36) + 2 r (2 r^{3}) + 2 r (- 5 r) + 2 r (- 6) = 0$

Paso 2.1.3.4

Factoriza $2 r$ de $2 r (2 r^{3}) + 2 r (- 5 r)$ .

$(r - 2) (r^{4} + 2 r^{3} - 9 r^{2} - 18 r - 36) + 2 r (2 r^{3} - 5 r) + 2 r (- 6) = 0$

Paso 2.1.3.5

Factoriza $2 r$ de $2 r (2 r^{3} - 5 r) + 2 r (- 6)$ .

$(r - 2) (r^{4} + 2 r^{3} - 9 r^{2} - 18 r - 36) + 2 r (2 r^{3} - 5 r - 6) = 0$

Paso 2.1.4

Factoriza.

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Paso 2.1.4.1

Factoriza $2 r^{3} - 5 r - 6$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 2.1.4.1.1

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

Paso 2.1.4.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 6, \pm 3, \pm 2, \pm 1.5$

Paso 2.1.4.1.3

Sustituye $2$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $2$ es una raíz del polinomio.

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Paso 2.1.4.1.3.1

Sustituye $2$ en el polinomio.

$2 \cdot 2^{3} - 5 \cdot 2 - 6$

Paso 2.1.4.1.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$2 \cdot 8 - 5 \cdot 2 - 6$

Paso 2.1.4.1.3.3

Multiplica $2$ por $8$ .

$16 - 5 \cdot 2 - 6$

Paso 2.1.4.1.3.4

Multiplica $- 5$ por $2$ .

$16 - 10 - 6$

Paso 2.1.4.1.3.5

Resta $10$ de $16$ .

$6 - 6$

Paso 2.1.4.1.3.6

Resta $6$ de $6$ .

$0$

Paso 2.1.4.1.4

Como $2$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $r - 2$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{2 r^{3} - 5 r - 6}{r - 2}$

Paso 2.1.4.1.5

Divide $2 r^{3} - 5 r - 6$ por $r - 2$ .

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Paso 2.1.4.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$r$

$2$

$2 r^{3}$

$0 r^{2}$

$5 r$

$6$

Paso 2.1.4.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 r^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $r$ .

					$2 r^{2}$
	$r$	-	$2$		$2 r^{3}$	+	$0 r^{2}$	-	$5 r$	-	$6$

Paso 2.1.4.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 r^{2}$
$r$	-	$2$		$2 r^{3}$	+	$0 r^{2}$	-	$5 r$	-	$6$
			+	$2 r^{3}$	-	$4 r^{2}$

Paso 2.1.4.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 r^{3} - 4 r^{2}$ .

				$2 r^{2}$
$r$	-	$2$		$2 r^{3}$	+	$0 r^{2}$	-	$5 r$	-	$6$
			-	$2 r^{3}$	+	$4 r^{2}$

Paso 2.1.4.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 r^{2}$
$r$	-	$2$		$2 r^{3}$	+	$0 r^{2}$	-	$5 r$	-	$6$
			-	$2 r^{3}$	+	$4 r^{2}$
					+	$4 r^{2}$

Paso 2.1.4.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$2 r^{2}$
$r$	-	$2$		$2 r^{3}$	+	$0 r^{2}$	-	$5 r$	-	$6$
			-	$2 r^{3}$	+	$4 r^{2}$
					+	$4 r^{2}$	-	$5 r$

Paso 2.1.4.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $4 r^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $r$ .

				$2 r^{2}$	+	$4 r$
$r$	-	$2$		$2 r^{3}$	+	$0 r^{2}$	-	$5 r$	-	$6$
			-	$2 r^{3}$	+	$4 r^{2}$
					+	$4 r^{2}$	-	$5 r$

Paso 2.1.4.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 r^{2}$	+	$4 r$
$r$	-	$2$		$2 r^{3}$	+	$0 r^{2}$	-	$5 r$	-	$6$
			-	$2 r^{3}$	+	$4 r^{2}$
					+	$4 r^{2}$	-	$5 r$
					+	$4 r^{2}$	-	$8 r$

Paso 2.1.4.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $4 r^{2} - 8 r$ .

				$2 r^{2}$	+	$4 r$
$r$	-	$2$		$2 r^{3}$	+	$0 r^{2}$	-	$5 r$	-	$6$
			-	$2 r^{3}$	+	$4 r^{2}$
					+	$4 r^{2}$	-	$5 r$
					-	$4 r^{2}$	+	$8 r$

Paso 2.1.4.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 r^{2}$	+	$4 r$
$r$	-	$2$		$2 r^{3}$	+	$0 r^{2}$	-	$5 r$	-	$6$
			-	$2 r^{3}$	+	$4 r^{2}$
					+	$4 r^{2}$	-	$5 r$
					-	$4 r^{2}$	+	$8 r$
							+	$3 r$

Paso 2.1.4.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$2 r^{2}$	+	$4 r$
$r$	-	$2$		$2 r^{3}$	+	$0 r^{2}$	-	$5 r$	-	$6$
			-	$2 r^{3}$	+	$4 r^{2}$
					+	$4 r^{2}$	-	$5 r$
					-	$4 r^{2}$	+	$8 r$
							+	$3 r$	-	$6$

Paso 2.1.4.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $3 r$ por el término de mayor orden en el divisor $r$ .

				$2 r^{2}$	+	$4 r$	+	$3$
$r$	-	$2$		$2 r^{3}$	+	$0 r^{2}$	-	$5 r$	-	$6$
			-	$2 r^{3}$	+	$4 r^{2}$
					+	$4 r^{2}$	-	$5 r$
					-	$4 r^{2}$	+	$8 r$
							+	$3 r$	-	$6$

Paso 2.1.4.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 r^{2}$	+	$4 r$	+	$3$
$r$	-	$2$		$2 r^{3}$	+	$0 r^{2}$	-	$5 r$	-	$6$
			-	$2 r^{3}$	+	$4 r^{2}$
					+	$4 r^{2}$	-	$5 r$
					-	$4 r^{2}$	+	$8 r$
							+	$3 r$	-	$6$
							+	$3 r$	-	$6$

Paso 2.1.4.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $3 r - 6$ .

				$2 r^{2}$	+	$4 r$	+	$3$
$r$	-	$2$		$2 r^{3}$	+	$0 r^{2}$	-	$5 r$	-	$6$
			-	$2 r^{3}$	+	$4 r^{2}$
					+	$4 r^{2}$	-	$5 r$
					-	$4 r^{2}$	+	$8 r$
							+	$3 r$	-	$6$
							-	$3 r$	+	$6$

Paso 2.1.4.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 r^{2}$	+	$4 r$	+	$3$
$r$	-	$2$		$2 r^{3}$	+	$0 r^{2}$	-	$5 r$	-	$6$
			-	$2 r^{3}$	+	$4 r^{2}$
					+	$4 r^{2}$	-	$5 r$
					-	$4 r^{2}$	+	$8 r$
							+	$3 r$	-	$6$
							-	$3 r$	+	$6$
										$0$

Paso 2.1.4.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$2 r^{2} + 4 r + 3$

Paso 2.1.4.1.6

Escribe $2 r^{3} - 5 r - 6$ como un conjunto de factores.

$(r - 2) (r^{4} + 2 r^{3} - 9 r^{2} - 18 r - 36) + 2 r ((r - 2) (2 r^{2} + 4 r + 3)) = 0$

Paso 2.1.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(r - 2) (r^{4} + 2 r^{3} - 9 r^{2} - 18 r - 36) + 2 r (r - 2) (2 r^{2} + 4 r + 3) = 0$

Paso 2.1.5

Factoriza $r - 2$ de $(r - 2) (r^{4} + 2 r^{3} - 9 r^{2} - 18 r - 36) + 2 r (r - 2) (2 r^{2} + 4 r + 3)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.5.1

Factoriza $r - 2$ de $2 r (r - 2) (2 r^{2} + 4 r + 3)$ .

$(r - 2) (r^{4} + 2 r^{3} - 9 r^{2} - 18 r - 36) + (r - 2) (2 r (2 r^{2} + 4 r + 3)) = 0$

Paso 2.1.5.2

Factoriza $r - 2$ de $(r - 2) (r^{4} + 2 r^{3} - 9 r^{2} - 18 r - 36) + (r - 2) (2 r (2 r^{2} + 4 r + 3))$ .

$(r - 2) (r^{4} + 2 r^{3} - 9 r^{2} - 18 r - 36 + 2 r (2 r^{2} + 4 r + 3)) = 0$

Paso 2.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$(r - 2) (r^{4} + 2 r^{3} - 9 r^{2} - 18 r - 36 + 2 r (2 r^{2}) + 2 r (4 r) + 2 r \cdot 3) = 0$

Paso 2.1.7

Simplifica.

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Paso 2.1.7.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(r - 2) (r^{4} + 2 r^{3} - 9 r^{2} - 18 r - 36 + 2 \cdot (2 r \cdot r^{2}) + 2 r (4 r) + 2 r \cdot 3) = 0$

Paso 2.1.7.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(r - 2) (r^{4} + 2 r^{3} - 9 r^{2} - 18 r - 36 + 2 \cdot (2 r \cdot r^{2}) + 2 \cdot (4 r \cdot r) + 2 r \cdot 3) = 0$

Paso 2.1.7.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$(r - 2) (r^{4} + 2 r^{3} - 9 r^{2} - 18 r - 36 + 2 \cdot (2 r \cdot r^{2}) + 2 \cdot (4 r \cdot r) + 6 r) = 0$

Paso 2.1.8

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.8.1

Multiplica $r$ por $r^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.8.1.1

Mueve $r^{2}$ .

$(r - 2) (r^{4} + 2 r^{3} - 9 r^{2} - 18 r - 36 + 2 \cdot (2 (r^{2} r)) + 2 \cdot (4 r \cdot r) + 6 r) = 0$

Paso 2.1.8.1.2

Multiplica $r^{2}$ por $r$ .

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Paso 2.1.8.1.2.1

Eleva $r$ a la potencia de $1$ .

$(r - 2) (r^{4} + 2 r^{3} - 9 r^{2} - 18 r - 36 + 2 \cdot (2 (r^{2} r)) + 2 \cdot (4 r \cdot r) + 6 r) = 0$

Paso 2.1.8.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(r - 2) (r^{4} + 2 r^{3} - 9 r^{2} - 18 r - 36 + 2 \cdot (2 r^{2 + 1}) + 2 \cdot (4 r \cdot r) + 6 r) = 0$

Paso 2.1.8.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$(r - 2) (r^{4} + 2 r^{3} - 9 r^{2} - 18 r - 36 + 2 \cdot (2 r^{3}) + 2 \cdot (4 r \cdot r) + 6 r) = 0$

Paso 2.1.8.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$(r - 2) (r^{4} + 2 r^{3} - 9 r^{2} - 18 r - 36 + 4 r^{3} + 2 \cdot (4 r \cdot r) + 6 r) = 0$

Paso 2.1.8.3

Multiplica $r$ por $r$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.8.3.1

Mueve $r$ .

$(r - 2) (r^{4} + 2 r^{3} - 9 r^{2} - 18 r - 36 + 4 r^{3} + 2 \cdot (4 (r \cdot r)) + 6 r) = 0$

Paso 2.1.8.3.2

Multiplica $r$ por $r$ .

$(r - 2) (r^{4} + 2 r^{3} - 9 r^{2} - 18 r - 36 + 4 r^{3} + 2 \cdot (4 r^{2}) + 6 r) = 0$

Paso 2.1.8.4

Multiplica $2$ por $4$ .

$(r - 2) (r^{4} + 2 r^{3} - 9 r^{2} - 18 r - 36 + 4 r^{3} + 8 r^{2} + 6 r) = 0$

Paso 2.1.9

Suma $2 r^{3}$ y $4 r^{3}$ .

$(r - 2) (r^{4} + 6 r^{3} - 9 r^{2} - 18 r - 36 + 8 r^{2} + 6 r) = 0$

Paso 2.1.10

Suma $- 9 r^{2}$ y $8 r^{2}$ .

$(r - 2) (r^{4} + 6 r^{3} - r^{2} - 18 r - 36 + 6 r) = 0$

Paso 2.1.11

Suma $- 18 r$ y $6 r$ .

$(r - 2) (r^{4} + 6 r^{3} - r^{2} - 12 r - 36) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$r - 2 = 0$

$r^{4} + 6 r^{3} - r^{2} - 12 r - 36 = 0$

Paso 2.3

Establece $r - 2$ igual a $0$ y resuelve $r$ .

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Paso 2.3.1

Establece $r - 2$ igual a $0$ .

$r - 2 = 0$

Paso 2.3.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$r = 2$

Paso 2.4

Establece $r^{4} + 6 r^{3} - r^{2} - 12 r - 36$ igual a $0$ y resuelve $r$ .

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Paso 2.4.1

Establece $r^{4} + 6 r^{3} - r^{2} - 12 r - 36$ igual a $0$ .

$r^{4} + 6 r^{3} - r^{2} - 12 r - 36 = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $r^{4} + 6 r^{3} - r^{2} - 12 r - 36 = 0$ en $r$ .

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Paso 2.4.2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.4.2.1.1

Reagrupa los términos.

$r^{4} + 6 r^{3} - r^{2} - 12 r - 36 = 0$

Paso 2.4.2.1.2

Factoriza $r^{3}$ de $r^{4} + 6 r^{3}$ .

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Paso 2.4.2.1.2.1

Factoriza $r^{3}$ de $r^{4}$ .

$r^{3} r + 6 r^{3} - r^{2} - 12 r - 36 = 0$

Paso 2.4.2.1.2.2

Factoriza $r^{3}$ de $6 r^{3}$ .

$r^{3} r + r^{3} \cdot 6 - r^{2} - 12 r - 36 = 0$

Paso 2.4.2.1.2.3

Factoriza $r^{3}$ de $r^{3} r + r^{3} \cdot 6$ .

$r^{3} (r + 6) - r^{2} - 12 r - 36 = 0$

Paso 2.4.2.1.3

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.4.2.1.3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 36 = 36$ y cuya suma es $b = - 12$ .

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Paso 2.4.2.1.3.1.1

Factoriza $- 12$ de $- 12 r$ .

$r^{3} (r + 6) - r^{2} - 12 r - 36 = 0$

Paso 2.4.2.1.3.1.2

Reescribe $- 12$ como $- 6$ más $- 6$

$r^{3} (r + 6) - r^{2} + (- 6 - 6) r - 36 = 0$

Paso 2.4.2.1.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$r^{3} (r + 6) - r^{2} - 6 r - 6 r - 36 = 0$

Paso 2.4.2.1.3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.4.2.1.3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$r^{3} (r + 6) - r^{2} - 6 r - 6 r - 36 = 0$

Paso 2.4.2.1.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$r^{3} (r + 6) + r (- r - 6) + 6 (- r - 6) = 0$

Paso 2.4.2.1.3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- r - 6$ .

$r^{3} (r + 6) + (- r - 6) (r + 6) = 0$

Paso 2.4.2.1.4

Factoriza $r + 6$ de $r^{3} (r + 6) + (- r - 6) (r + 6)$ .

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Paso 2.4.2.1.4.1

Factoriza $r + 6$ de $r^{3} (r + 6)$ .

$(r + 6) r^{3} + (- r - 6) (r + 6) = 0$

Paso 2.4.2.1.4.2

Factoriza $r + 6$ de $(- r - 6) (r + 6)$ .

$(r + 6) r^{3} + (r + 6) (- r - 6) = 0$

Paso 2.4.2.1.4.3

Factoriza $r + 6$ de $(r + 6) r^{3} + (r + 6) (- r - 6)$ .

$(r + 6) (r^{3} - r - 6) = 0$

Paso 2.4.2.1.5

Factoriza.

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Paso 2.4.2.1.5.1

Factoriza $r^{3} - r - 6$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 2.4.2.1.5.1.1

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Paso 2.4.2.1.5.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Paso 2.4.2.1.5.1.3

Sustituye $2$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $2$ es una raíz del polinomio.

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Paso 2.4.2.1.5.1.3.1

Sustituye $2$ en el polinomio.

$2^{3} - 1 \cdot 2 - 6$

Paso 2.4.2.1.5.1.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$8 - 1 \cdot 2 - 6$

Paso 2.4.2.1.5.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$8 - 2 - 6$

Paso 2.4.2.1.5.1.3.4

Resta $2$ de $8$ .

$6 - 6$

Paso 2.4.2.1.5.1.3.5

Resta $6$ de $6$ .

$0$

Paso 2.4.2.1.5.1.4

Como $2$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $r - 2$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{r^{3} - r - 6}{r - 2}$

Paso 2.4.2.1.5.1.5

Divide $r^{3} - r - 6$ por $r - 2$ .

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Paso 2.4.2.1.5.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$r$

$2$

$r^{3}$

$0 r^{2}$

$r$

$6$

Paso 2.4.2.1.5.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $r^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $r$ .

					$r^{2}$
	$r$	-	$2$		$r^{3}$	+	$0 r^{2}$	-	$r$	-	$6$

Paso 2.4.2.1.5.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$r^{2}$
$r$	-	$2$		$r^{3}$	+	$0 r^{2}$	-	$r$	-	$6$
			+	$r^{3}$	-	$2 r^{2}$

Paso 2.4.2.1.5.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $r^{3} - 2 r^{2}$ .

				$r^{2}$
$r$	-	$2$		$r^{3}$	+	$0 r^{2}$	-	$r$	-	$6$
			-	$r^{3}$	+	$2 r^{2}$

Paso 2.4.2.1.5.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$r^{2}$
$r$	-	$2$		$r^{3}$	+	$0 r^{2}$	-	$r$	-	$6$
			-	$r^{3}$	+	$2 r^{2}$
					+	$2 r^{2}$

Paso 2.4.2.1.5.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$r^{2}$
$r$	-	$2$		$r^{3}$	+	$0 r^{2}$	-	$r$	-	$6$
			-	$r^{3}$	+	$2 r^{2}$
					+	$2 r^{2}$	-	$r$

Paso 2.4.2.1.5.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 r^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $r$ .

				$r^{2}$	+	$2 r$
$r$	-	$2$		$r^{3}$	+	$0 r^{2}$	-	$r$	-	$6$
			-	$r^{3}$	+	$2 r^{2}$
					+	$2 r^{2}$	-	$r$

Paso 2.4.2.1.5.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$r^{2}$	+	$2 r$
$r$	-	$2$		$r^{3}$	+	$0 r^{2}$	-	$r$	-	$6$
			-	$r^{3}$	+	$2 r^{2}$
					+	$2 r^{2}$	-	$r$
					+	$2 r^{2}$	-	$4 r$

Paso 2.4.2.1.5.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 r^{2} - 4 r$ .

				$r^{2}$	+	$2 r$
$r$	-	$2$		$r^{3}$	+	$0 r^{2}$	-	$r$	-	$6$
			-	$r^{3}$	+	$2 r^{2}$
					+	$2 r^{2}$	-	$r$
					-	$2 r^{2}$	+	$4 r$

Paso 2.4.2.1.5.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$r^{2}$	+	$2 r$
$r$	-	$2$		$r^{3}$	+	$0 r^{2}$	-	$r$	-	$6$
			-	$r^{3}$	+	$2 r^{2}$
					+	$2 r^{2}$	-	$r$
					-	$2 r^{2}$	+	$4 r$
							+	$3 r$

Paso 2.4.2.1.5.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$r^{2}$	+	$2 r$
$r$	-	$2$		$r^{3}$	+	$0 r^{2}$	-	$r$	-	$6$
			-	$r^{3}$	+	$2 r^{2}$
					+	$2 r^{2}$	-	$r$
					-	$2 r^{2}$	+	$4 r$
							+	$3 r$	-	$6$

Paso 2.4.2.1.5.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $3 r$ por el término de mayor orden en el divisor $r$ .

				$r^{2}$	+	$2 r$	+	$3$
$r$	-	$2$		$r^{3}$	+	$0 r^{2}$	-	$r$	-	$6$
			-	$r^{3}$	+	$2 r^{2}$
					+	$2 r^{2}$	-	$r$
					-	$2 r^{2}$	+	$4 r$
							+	$3 r$	-	$6$

Paso 2.4.2.1.5.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$r^{2}$	+	$2 r$	+	$3$
$r$	-	$2$		$r^{3}$	+	$0 r^{2}$	-	$r$	-	$6$
			-	$r^{3}$	+	$2 r^{2}$
					+	$2 r^{2}$	-	$r$
					-	$2 r^{2}$	+	$4 r$
							+	$3 r$	-	$6$
							+	$3 r$	-	$6$

Paso 2.4.2.1.5.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $3 r - 6$ .

				$r^{2}$	+	$2 r$	+	$3$
$r$	-	$2$		$r^{3}$	+	$0 r^{2}$	-	$r$	-	$6$
			-	$r^{3}$	+	$2 r^{2}$
					+	$2 r^{2}$	-	$r$
					-	$2 r^{2}$	+	$4 r$
							+	$3 r$	-	$6$
							-	$3 r$	+	$6$

Paso 2.4.2.1.5.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$r^{2}$	+	$2 r$	+	$3$
$r$	-	$2$		$r^{3}$	+	$0 r^{2}$	-	$r$	-	$6$
			-	$r^{3}$	+	$2 r^{2}$
					+	$2 r^{2}$	-	$r$
					-	$2 r^{2}$	+	$4 r$
							+	$3 r$	-	$6$
							-	$3 r$	+	$6$
										$0$

Paso 2.4.2.1.5.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$r^{2} + 2 r + 3$

Paso 2.4.2.1.5.1.6

Escribe $r^{3} - r - 6$ como un conjunto de factores.

$(r + 6) ((r - 2) (r^{2} + 2 r + 3)) = 0$

Paso 2.4.2.1.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(r + 6) (r - 2) (r^{2} + 2 r + 3) = 0$

Paso 2.4.2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$r + 6 = 0$

$r - 2 = 0$

$r^{2} + 2 r + 3 = 0$

Paso 2.4.2.3

Establece $r + 6$ igual a $0$ y resuelve $r$ .

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Paso 2.4.2.3.1

Establece $r + 6$ igual a $0$ .

$r + 6 = 0$

Paso 2.4.2.3.2

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$r = - 6$

Paso 2.4.2.4

Establece $r - 2$ igual a $0$ y resuelve $r$ .

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Paso 2.4.2.4.1

Establece $r - 2$ igual a $0$ .

$r - 2 = 0$

Paso 2.4.2.4.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$r = 2$

Paso 2.4.2.5

Establece $r^{2} + 2 r + 3$ igual a $0$ y resuelve $r$ .

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Paso 2.4.2.5.1

Establece $r^{2} + 2 r + 3$ igual a $0$ .

$r^{2} + 2 r + 3 = 0$

Paso 2.4.2.5.2

Resuelve $r^{2} + 2 r + 3 = 0$ en $r$ .

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Paso 2.4.2.5.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.4.2.5.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 2$ y $c = 3$ en la fórmula cuadrática y resuelve $r$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.5.2.3

Simplifica.

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Paso 2.4.2.5.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.2.5.2.3.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.5.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Paso 2.4.2.5.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.5.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.5.2.3.1.3

Resta $12$ de $4$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.5.2.3.1.4

Reescribe $- 8$ como $- 1 (8)$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.5.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (8)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.5.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$r = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.5.2.3.1.7

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.5.2.3.1.7.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$r = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.5.2.3.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$r = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.5.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$r = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.5.2.3.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$r = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.5.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$r = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

Paso 2.4.2.5.2.3.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ .

$r = - 1 \pm i \sqrt{2}$

Paso 2.4.2.5.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$r = - 1 + i \sqrt{2}, - 1 - i \sqrt{2}$

Paso 2.4.2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(r + 6) (r - 2) (r^{2} + 2 r + 3) = 0$ verdadera.

$r = - 6, 2, - 1 + i \sqrt{2}, - 1 - i \sqrt{2}$

Paso 2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(r - 2) (r^{4} + 6 r^{3} - r^{2} - 12 r - 36) = 0$ verdadera.

$r = 2, - 6, - 1 + i \sqrt{2}, - 1 - i \sqrt{2}$

Paso 3