Álgebra Ejemplos

$\sqrt{x + \sqrt{2 x}} = \sqrt{2 x}$

Paso 1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{x + \sqrt{2 x}}}^{2} = {\sqrt{2 x}}^{2}$

Paso 2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + \sqrt{2 x}}$ como ${(x + \sqrt{2 x})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + \sqrt{2 x})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt{2 x}}^{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${({(x + \sqrt{2 x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(x + \sqrt{2 x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + \sqrt{2 x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{2 x}}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(x + \sqrt{2 x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{2 x}}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(x + \sqrt{2 x})}^{1} = {\sqrt{2 x}}^{2}$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

$x + \sqrt{2 x} = {\sqrt{2 x}}^{2}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Reescribe ${\sqrt{2 x}}^{2}$ como $2 x$ .

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Paso 2.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 x}$ como ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x + \sqrt{2 x} = {({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 2.3.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + \sqrt{2 x} = {(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 2.3.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x + \sqrt{2 x} = {(2 x)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.3.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.4.1

Cancela el factor común.

$x + \sqrt{2 x} = {(2 x)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.3.1.4.2

Reescribe la expresión.

$x + \sqrt{2 x} = {(2 x)}^{1}$

Paso 2.3.1.5

Simplifica.

$x + \sqrt{2 x} = 2 x$

Paso 3

Mueve todos los términos que no contengan $\sqrt{2 x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{2 x} = 2 x - x$

Paso 3.2

Resta $x$ de $2 x$ .

$\sqrt{2 x} = x$

Paso 4

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{2 x}}^{2} = x^{2}$

Paso 5

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 x}$ como ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Simplifica ${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 5.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 5.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(2 x)}^{1} = x^{2}$

Paso 5.2.1.2

Simplifica.

$2 x = x^{2}$

Paso 6

Resuelve $x$

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Paso 6.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x - x^{2} = 0$

Paso 6.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.2.1

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$2 u - u^{2} = 0$

Paso 6.2.2

Factoriza $u$ de $2 u - u^{2}$ .

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Paso 6.2.2.1

Factoriza $u$ de $2 u$ .

$u \cdot 2 - u^{2} = 0$

Paso 6.2.2.2

Factoriza $u$ de $- u^{2}$ .

$u \cdot 2 + u (- u) = 0$

Paso 6.2.2.3

Factoriza $u$ de $u \cdot 2 + u (- u)$ .

$u (2 - u) = 0$

Paso 6.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$x (2 - x) = 0$

Paso 6.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$2 - x = 0$

Paso 6.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 6.5

Establece $2 - x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.5.1

Establece $2 - x$ igual a $0$ .

$2 - x = 0$

Paso 6.5.2

Resuelve $2 - x = 0$ en $x$ .

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Paso 6.5.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 2$

Paso 6.5.2.2

Divide cada término en $- x = - 2$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.5.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 6.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.5.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 6.5.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 6.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.5.2.2.3.1

Divide $- 2$ por $- 1$ .

$x = 2$

Paso 6.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (2 - x) = 0$ verdadera.

$x = 0, 2$