Álgebra Ejemplos

$x = \frac{1}{2} y^{2} + 2 y + 11$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} + 2 y + 11$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $\frac{y^{2}}{2} + 2 y + 11$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = 2$

$c = 11$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{2})}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{2})}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$d = \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Paso 1.2.3.2.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = 1 \cdot 2$

Paso 1.2.3.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$d = 2$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 11 - \frac{2^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = 11 - \frac{4}{4 (\frac{1}{2})}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$e = 11 - \frac{4}{\frac{4}{2}}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Divide $4$ por $2$ .

$e = 11 - \frac{4}{2}$

Paso 1.2.4.2.1.4

Divide $4$ por $2$ .

$e = 11 - 1 \cdot 2$

Paso 1.2.4.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$e = 11 - 2$

Paso 1.2.4.2.2

Resta $2$ de $11$ .

$e = 9$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $\frac{1}{2} {(y + 2)}^{2} + 9$ .

$\frac{1}{2} {(y + 2)}^{2} + 9$

Paso 1.3

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = \frac{1}{2} \cdot {(y + 2)}^{2} + 9$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = 9$

$k = - 2$

Paso 3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia la derecha.

Abre a la derecha

Paso 4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(9, - 2)$

Paso 5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Paso 5.3.2

Divide $4$ por $2$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 6

Obtén el foco.

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Paso 6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada x $h$ si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$(h + p, k)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(\frac{19}{2}, - 2)$

Paso 7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$y = - 2$

Paso 8