Álgebra Ejemplos

$\frac{3 + \sqrt{8}}{2 - 2 \sqrt{8}}$

Paso 1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{3 + \sqrt{4 (2)}}{2 - 2 \sqrt{8}}$

Paso 1.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{3 + \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 - 2 \sqrt{8}}$

Paso 1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2 - 2 \sqrt{8}}$

Paso 2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2 - 2 \sqrt{4 (2)}}$

Paso 2.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2 - 2 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Paso 2.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2 - 2 (2 \sqrt{2})}$

Paso 2.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2 - 4 \sqrt{2}}$

Paso 3

Multiplica $\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2 - 4 \sqrt{2}}$ por $\frac{2 + 4 \sqrt{2}}{2 + 4 \sqrt{2}}$ .

$\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2 - 4 \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + 4 \sqrt{2}}{2 + 4 \sqrt{2}}$

Paso 4

Simplifica los términos.

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2 - 4 \sqrt{2}}$ por $\frac{2 + 4 \sqrt{2}}{2 + 4 \sqrt{2}}$ .

$\frac{(3 + 2 \sqrt{2}) (2 + 4 \sqrt{2})}{(2 - 4 \sqrt{2}) (2 + 4 \sqrt{2})}$

Paso 4.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{(3 + 2 \sqrt{2}) (2 + 4 \sqrt{2})}{4 + 8 \sqrt{2} - 8 \sqrt{2} - 16 {\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 4.3

Simplifica.

$\frac{(3 + 2 \sqrt{2}) (2 + 4 \sqrt{2})}{- 28}$

Paso 4.4

Cancela el factor común de $2 + 4 \sqrt{2}$ y $- 28$ .

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Paso 4.4.1

Factoriza $2$ de $(3 + 2 \sqrt{2}) (2 + 4 \sqrt{2})$ .

$\frac{2 ((3 + 2 \sqrt{2}) (1 + 2 \sqrt{2}))}{- 28}$

Paso 4.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.4.2.1

Factoriza $2$ de $- 28$ .

$\frac{2 ((3 + 2 \sqrt{2}) (1 + 2 \sqrt{2}))}{2 (- 14)}$

Paso 4.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 ((3 + 2 \sqrt{2}) (1 + 2 \sqrt{2}))}{2 \cdot - 14}$

Paso 4.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(3 + 2 \sqrt{2}) (1 + 2 \sqrt{2})}{- 14}$

Paso 5

Expande $(3 + 2 \sqrt{2}) (1 + 2 \sqrt{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (1 + 2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} (1 + 2 \sqrt{2})}{- 14}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} (1 + 2 \sqrt{2})}{- 14}$

Paso 5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} \cdot 1 + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}{- 14}$

Paso 6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{3 + 3 (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} \cdot 1 + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}{- 14}$

Paso 6.1.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} \cdot 1 + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}{- 14}$

Paso 6.1.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}{- 14}$

Paso 6.1.4

Multiplica $2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})$ .

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Paso 6.1.4.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} \sqrt{2}}{- 14}$

Paso 6.1.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 4 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{- 14}$

Paso 6.1.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 4 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{- 14}$

Paso 6.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 4 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{- 14}$

Paso 6.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 4 {\sqrt{2}}^{2}}{- 14}$

Paso 6.1.5

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 6.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{- 14}$

Paso 6.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{- 14}$

Paso 6.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{- 14}$

Paso 6.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{- 14}$

Paso 6.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{1}}{- 14}$

Paso 6.1.5.5

Evalúa el exponente.

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 4 \cdot 2}{- 14}$

Paso 6.1.6

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 8}{- 14}$

Paso 6.2

Suma $3$ y $8$ .

$\frac{11 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}}{- 14}$

Paso 6.3

Suma $6 \sqrt{2}$ y $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{11 + 8 \sqrt{2}}{- 14}$

Paso 7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{11 + 8 \sqrt{2}}{14}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{11 + 8 \sqrt{2}}{14}$

Forma decimal:

$- 1.59383632 \dots$