Álgebra Ejemplos

$(\sqrt{2} - i \sqrt{2}) (\sqrt{2} + i \sqrt{2})$

Paso 1

Expande $(\sqrt{2} - i \sqrt{2}) (\sqrt{2} + i \sqrt{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{2} (\sqrt{2} + i \sqrt{2}) - i \sqrt{2} (\sqrt{2} + i \sqrt{2})$

Paso 1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (i \sqrt{2}) - i \sqrt{2} (\sqrt{2} + i \sqrt{2})$

Paso 1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (i \sqrt{2}) - i \sqrt{2} \sqrt{2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Paso 2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{2} (i \sqrt{2}) - i \sqrt{2} \sqrt{2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Paso 2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\sqrt{4} + \sqrt{2} (i \sqrt{2}) - i \sqrt{2} \sqrt{2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Paso 2.1.3

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2}} + \sqrt{2} (i \sqrt{2}) - i \sqrt{2} \sqrt{2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Paso 2.1.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$2 + \sqrt{2} (i \sqrt{2}) - i \sqrt{2} \sqrt{2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Paso 2.1.5

Multiplica $\sqrt{2} (i \sqrt{2})$ .

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Paso 2.1.5.1

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$2 + {\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2} i - i \sqrt{2} \sqrt{2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Paso 2.1.5.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$2 + {\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1} i - i \sqrt{2} \sqrt{2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Paso 2.1.5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 + {\sqrt{2}}^{1 + 1} i - i \sqrt{2} \sqrt{2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Paso 2.1.5.4

Suma $1$ y $1$ .

$2 + {\sqrt{2}}^{2} i - i \sqrt{2} \sqrt{2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Paso 2.1.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 2.1.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} i - i \sqrt{2} \sqrt{2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Paso 2.1.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} i - i \sqrt{2} \sqrt{2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Paso 2.1.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$2 + 2^{\frac{2}{2}} i - i \sqrt{2} \sqrt{2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Paso 2.1.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.6.4.1

Cancela el factor común.

$2 + 2^{\frac{2}{2}} i - i \sqrt{2} \sqrt{2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Paso 2.1.6.4.2

Reescribe la expresión.

$2 + 2^{1} i - i \sqrt{2} \sqrt{2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Paso 2.1.6.5

Evalúa el exponente.

$2 + 2 i - i \sqrt{2} \sqrt{2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Paso 2.1.7

Multiplica $- i \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Paso 2.1.7.1

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$2 + 2 i - i ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Paso 2.1.7.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$2 + 2 i - i ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Paso 2.1.7.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 + 2 i - i {\sqrt{2}}^{1 + 1} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Paso 2.1.7.4

Suma $1$ y $1$ .

$2 + 2 i - i {\sqrt{2}}^{2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Paso 2.1.8

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 2.1.8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 + 2 i - i {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Paso 2.1.8.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 + 2 i - i \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Paso 2.1.8.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$2 + 2 i - i \cdot 2^{\frac{2}{2}} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Paso 2.1.8.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.8.4.1

Cancela el factor común.

$2 + 2 i - i \cdot 2^{\frac{2}{2}} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Paso 2.1.8.4.2

Reescribe la expresión.

$2 + 2 i - i \cdot 2^{1} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Paso 2.1.8.5

Evalúa el exponente.

$2 + 2 i - i \cdot 2 - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Paso 2.1.9

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 + 2 i - 2 i - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Paso 2.1.10

Multiplica $- i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$ .

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Paso 2.1.10.1

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$2 + 2 i - 2 i - (i^{1} i) \sqrt{2} \sqrt{2}$

Paso 2.1.10.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$2 + 2 i - 2 i - (i^{1} i^{1}) \sqrt{2} \sqrt{2}$

Paso 2.1.10.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 + 2 i - 2 i - i^{1 + 1} \sqrt{2} \sqrt{2}$

Paso 2.1.10.4

Suma $1$ y $1$ .

$2 + 2 i - 2 i - i^{2} \sqrt{2} \sqrt{2}$

Paso 2.1.10.5

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$2 + 2 i - 2 i - i^{2} ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})$

Paso 2.1.10.6

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$2 + 2 i - 2 i - i^{2} ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})$

Paso 2.1.10.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 + 2 i - 2 i - i^{2} {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Paso 2.1.10.8

Suma $1$ y $1$ .

$2 + 2 i - 2 i - i^{2} {\sqrt{2}}^{2}$

Paso 2.1.11

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$2 + 2 i - 2 i - - 1 {\sqrt{2}}^{2}$

Paso 2.1.12

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$2 + 2 i - 2 i + 1 {\sqrt{2}}^{2}$

Paso 2.1.13

Multiplica ${\sqrt{2}}^{2}$ por $1$ .

$2 + 2 i - 2 i + {\sqrt{2}}^{2}$

Paso 2.1.14

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 2.1.14.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 + 2 i - 2 i + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 2.1.14.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 + 2 i - 2 i + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 2.1.14.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$2 + 2 i - 2 i + 2^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.1.14.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.14.4.1

Cancela el factor común.

$2 + 2 i - 2 i + 2^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.1.14.4.2

Reescribe la expresión.

$2 + 2 i - 2 i + 2^{1}$

Paso 2.1.14.5

Evalúa el exponente.

$2 + 2 i - 2 i + 2$

Paso 2.2

Suma $2$ y $2$ .

$4 + 2 i - 2 i$

Paso 2.3

Resta $2 i$ de $2 i$ .

$4 + 0$

Paso 2.4

Suma $4$ y $0$ .

$4$