Álgebra Ejemplos

$2 x - 2 y = x^{2} + 9$

Paso 1

Resuelve $y$

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Paso 1.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 y = x^{2} + 9 - 2 x$

Paso 1.2

Divide cada término en $- 2 y = x^{2} + 9 - 2 x$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $- 2 y = x^{2} + 9 - 2 x$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{x^{2}}{- 2} + \frac{9}{- 2} + \frac{- 2 x}{- 2}$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{x^{2}}{- 2} + \frac{9}{- 2} + \frac{- 2 x}{- 2}$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{- 2} + \frac{9}{- 2} + \frac{- 2 x}{- 2}$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{9}{- 2} + \frac{- 2 x}{- 2}$

Paso 1.2.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{x^{2}}{2} - \frac{9}{2} + \frac{- 2 x}{- 2}$

Paso 1.2.3.1.3

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 1.2.3.1.3.1

Cancela el factor común.

$y = - \frac{x^{2}}{2} - \frac{9}{2} + \frac{- 2 x}{- 2}$

Paso 1.2.3.1.3.2

Divide $x$ por $1$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} - \frac{9}{2} + x$

Paso 2

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 2.1.1

Mueve $- \frac{9}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + x - \frac{9}{2}$

Paso 2.1.2

Completa el cuadrado de $- \frac{x^{2}}{2} + x - \frac{9}{2}$ .

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Paso 2.1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$b = 1$

$c = - \frac{9}{2}$

Paso 2.1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 (- \frac{1}{2})}$

Paso 2.1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 2.1.2.3.2.1.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$d = \frac{- 1 (- 1)}{2 (- \frac{1}{2})}$

Paso 2.1.2.3.2.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = - \frac{1}{2 (\frac{1}{2})}$

Paso 2.1.2.3.2.2

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$d = - \frac{1}{\frac{2}{2}}$

Paso 2.1.2.3.2.3

Divide $2$ por $2$ .

$d = - \frac{1}{1}$

Paso 2.1.2.3.2.4

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 2.1.2.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$d = - \frac{1}{1}$

Paso 2.1.2.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$d = - 1 \cdot 1$

Paso 2.1.2.3.2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Paso 2.1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Paso 2.1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.4.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$e = - \frac{9}{2} - \frac{1}{4 (- \frac{1}{2})}$

Paso 2.1.2.4.2.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1.2.4.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = - \frac{9}{2} - \frac{1}{- 4 (\frac{1}{2})}$

Paso 2.1.2.4.2.1.2.2

Combina $- 4$ y $\frac{1}{2}$ .

$e = - \frac{9}{2} - \frac{1}{\frac{- 4}{2}}$

Paso 2.1.2.4.2.1.3

Divide $- 4$ por $2$ .

$e = - \frac{9}{2} - \frac{1}{- 2}$

Paso 2.1.2.4.2.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = - \frac{9}{2} - - \frac{1}{2}$

Paso 2.1.2.4.2.1.5

Multiplica $- - \frac{1}{2}$ .

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Paso 2.1.2.4.2.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e = - \frac{9}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Paso 2.1.2.4.2.1.5.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$e = - \frac{9}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 2.1.2.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{- 9 + 1}{2}$

Paso 2.1.2.4.2.3

Suma $- 9$ y $1$ .

$e = \frac{- 8}{2}$

Paso 2.1.2.4.2.4

Divide $- 8$ por $2$ .

$e = - 4$

Paso 2.1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- \frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} - 4$ .

$- \frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} - 4$

Paso 2.1.3

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{2} - 4$

Paso 2.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$h = 1$

$k = - 4$

Paso 2.3

Como el valor de $a$ es negativo, la parábola se abre hacia abajo.

Abre hacia abajo

Paso 2.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(1, - 4)$

Paso 2.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 2.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 2.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Paso 2.5.3

Simplifica.

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Paso 2.5.3.1

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 2.5.3.1.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Paso 2.5.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Paso 2.5.3.2

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Paso 2.5.3.3

Divide $4$ por $2$ .

$- \frac{1}{2}$

Paso 2.6

Obtén el foco.

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Paso 2.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 2.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(1, - \frac{9}{2})$

Paso 2.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = 1$

Paso 2.8

Obtén la directriz.

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Paso 2.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 2.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = - \frac{7}{2}$

Paso 2.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(1, - 4)$

Foco: $(1, - \frac{9}{2})$

Eje de simetría: $x = 1$

Directriz: $y = - \frac{7}{2}$

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(1, - 4)$

Foco: $(1, - \frac{9}{2})$

Eje de simetría: $x = 1$

Directriz: $y = - \frac{7}{2}$

Paso 3

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = - \frac{{(- 1)}^{2}}{2} - 1 - \frac{9}{2}$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Combina fracciones.

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Paso 3.2.1.1

Elimina los paréntesis.

$f (- 1) = - \frac{{(- 1)}^{2}}{2} - 1 - \frac{9}{2}$

Paso 3.2.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 1) = - 1 + \frac{- {(- 1)}^{2} - 9}{2}$

Paso 3.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.2.1.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ .

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Paso 3.2.2.1.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$f (- 1) = - 1 + \frac{(- 1) {(- 1)}^{2} - 9}{2}$

Paso 3.2.2.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (- 1) = - 1 + \frac{{(- 1)}^{1 + 2} - 9}{2}$

Paso 3.2.2.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$f (- 1) = - 1 + \frac{{(- 1)}^{3} - 9}{2}$

Paso 3.2.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- 1) = - 1 + \frac{- 1 - 9}{2}$

Paso 3.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.3.1

Resta $9$ de $- 1$ .

$f (- 1) = - 1 + \frac{- 10}{2}$

Paso 3.2.3.2

Divide $- 10$ por $2$ .

$f (- 1) = - 1 - 5$

Paso 3.2.3.3

Resta $5$ de $- 1$ .

$f (- 1) = - 6$

Paso 3.2.4

La respuesta final es $- 6$ .

$- 6$

Paso 3.3

El valor de $y$ en $x = - 1$ es $- 6$ .

$y = - 6$

Paso 3.4

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = - \frac{{(0)}^{2}}{2} + 0 - \frac{9}{2}$

Paso 3.5

Simplifica el resultado.

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Paso 3.5.1

Combina fracciones.

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Paso 3.5.1.1

Elimina los paréntesis.

$f (0) = - \frac{{(0)}^{2}}{2} + 0 - \frac{9}{2}$

Paso 3.5.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (0) = \frac{- {(0)}^{2} - 9}{2}$

Paso 3.5.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = \frac{- 0 - 9}{2}$

Paso 3.5.2.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f (0) = \frac{0 - 9}{2}$

Paso 3.5.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.5.3.1

Resta $9$ de $0$ .

$f (0) = \frac{- 9}{2}$

Paso 3.5.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (0) = - \frac{9}{2}$

Paso 3.5.4

La respuesta final es $- \frac{9}{2}$ .

$- \frac{9}{2}$

Paso 3.6

El valor de $y$ en $x = 0$ es $- \frac{9}{2}$ .

$y = - \frac{9}{2}$

Paso 3.7

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = - \frac{{(3)}^{2}}{2} + 3 - \frac{9}{2}$

Paso 3.8

Simplifica el resultado.

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Paso 3.8.1

Combina fracciones.

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Paso 3.8.1.1

Elimina los paréntesis.

$f (3) = - \frac{{(3)}^{2}}{2} + 3 - \frac{9}{2}$

Paso 3.8.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (3) = 3 + \frac{- {(3)}^{2} - 9}{2}$

Paso 3.8.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.8.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (3) = 3 + \frac{- 1 \cdot 9 - 9}{2}$

Paso 3.8.2.2

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$f (3) = 3 + \frac{- 9 - 9}{2}$

Paso 3.8.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.8.3.1

Resta $9$ de $- 9$ .

$f (3) = 3 + \frac{- 18}{2}$

Paso 3.8.3.2

Divide $- 18$ por $2$ .

$f (3) = 3 - 9$

Paso 3.8.3.3

Resta $9$ de $3$ .

$f (3) = - 6$

Paso 3.8.4

La respuesta final es $- 6$ .

$- 6$

Paso 3.9

El valor de $y$ en $x = 3$ es $- 6$ .

$y = - 6$

Paso 3.10

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2}}{2} + 2 - \frac{9}{2}$

Paso 3.11

Simplifica el resultado.

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Paso 3.11.1

Combina fracciones.

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Paso 3.11.1.1

Elimina los paréntesis.

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2}}{2} + 2 - \frac{9}{2}$

Paso 3.11.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (2) = 2 + \frac{- {(2)}^{2} - 9}{2}$

Paso 3.11.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.11.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (2) = 2 + \frac{- 1 \cdot 4 - 9}{2}$

Paso 3.11.2.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f (2) = 2 + \frac{- 4 - 9}{2}$

Paso 3.11.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.11.3.1

Resta $9$ de $- 4$ .

$f (2) = 2 + \frac{- 13}{2}$

Paso 3.11.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (2) = 2 - \frac{13}{2}$

Paso 3.11.4

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{13}{2}$

Paso 3.11.5

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{13}{2}$

Paso 3.11.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (2) = \frac{2 \cdot 2 - 13}{2}$

Paso 3.11.7

Simplifica el numerador.

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Paso 3.11.7.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (2) = \frac{4 - 13}{2}$

Paso 3.11.7.2

Resta $13$ de $4$ .

$f (2) = \frac{- 9}{2}$

Paso 3.11.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (2) = - \frac{9}{2}$

Paso 3.11.9

La respuesta final es $- \frac{9}{2}$ .

$- \frac{9}{2}$

Paso 3.12

El valor de $y$ en $x = 2$ es $- \frac{9}{2}$ .

$y = - \frac{9}{2}$

Paso 3.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 6 \\ 0 & - \frac{9}{2} \\ 1 & - 4 \\ 2 & - \frac{9}{2} \\ 3 & - 6 \end{array}$

Paso 4

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(1, - 4)$

Foco: $(1, - \frac{9}{2})$

Eje de simetría: $x = 1$

Directriz: $y = - \frac{7}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 6 \\ 0 & - \frac{9}{2} \\ 1 & - 4 \\ 2 & - \frac{9}{2} \\ 3 & - 6 \end{array}$

Paso 5