Álgebra Ejemplos

$\frac{5 x - 4}{2 x + 1} > 1$

Paso 1

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{5 x - 4}{2 x + 1} - 1 > 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{5 x - 4}{2 x + 1} - 1$ .

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Paso 2.1

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$\frac{5 x - 4}{2 x + 1} - 1 \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1} > 0$

Paso 2.2

Combina $- 1$ y $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$\frac{5 x - 4}{2 x + 1} + \frac{- (2 x + 1)}{2 x + 1} > 0$

Paso 2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5 x - 4 - (2 x + 1)}{2 x + 1} > 0$

Paso 2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 x - 4 - (2 x) - 1 \cdot 1}{2 x + 1} > 0$

Paso 2.4.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{5 x - 4 - 2 x - 1 \cdot 1}{2 x + 1} > 0$

Paso 2.4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{5 x - 4 - 2 x - 1}{2 x + 1} > 0$

Paso 2.4.4

Resta $2 x$ de $5 x$ .

$\frac{3 x - 4 - 1}{2 x + 1} > 0$

Paso 2.4.5

Resta $1$ de $- 4$ .

$\frac{3 x - 5}{2 x + 1} > 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$3 x - 5 = 0$

$2 x + 1 = 0$

Paso 4

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 5$

Paso 5

Divide cada término en $3 x = 5$ por $3$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $3 x = 5$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Paso 5.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{5}{3}$

Paso 6

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 1$

Paso 7

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 7.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{2}$

Paso 8

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = \frac{5}{3}$

$x = - \frac{1}{2}$

Paso 9

Consolida las soluciones.

$x = \frac{5}{3}, - \frac{1}{2}$

Paso 10

Obtén el dominio de $\frac{3 x - 5}{2 x + 1}$ .

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Paso 10.1

Establece el denominador en $\frac{3 x - 5}{2 x + 1}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$2 x + 1 = 0$

Paso 10.2

Resuelve $x$

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Paso 10.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 1$

Paso 10.2.2

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 10.2.2.1

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 10.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 10.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Paso 10.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{2}$

Paso 10.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \infty)$

Paso 11

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < \frac{5}{3}$

$x > \frac{5}{3}$

Paso 12

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 12.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - \frac{1}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - \frac{1}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 3$

Paso 12.1.2

Reemplaza $x$ con $- 3$ en la desigualdad original.

$\frac{5 (- 3) - 4}{2 (- 3) + 1} > 1$

Paso 12.1.3

$3.8$ del lado izquierdo es mayor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 12.2

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{1}{2} < x < \frac{5}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{1}{2} < x < \frac{5}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 12.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{5 (0) - 4}{2 (0) + 1} > 1$

Paso 12.2.3

$- 4$ del lado izquierdo no es mayor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 12.3

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{5}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{5}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 12.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{5 (4) - 4}{2 (4) + 1} > 1$

Paso 12.3.3

$1.\overline{7}$ del lado izquierdo es mayor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 12.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - \frac{1}{2}$ Verdadero

$- \frac{1}{2} < x < \frac{5}{3}$ Falso

$x > \frac{5}{3}$ Verdadero

$x < - \frac{1}{2}$ Verdadero

$- \frac{1}{2} < x < \frac{5}{3}$ Falso

$x > \frac{5}{3}$ Verdadero

Paso 13

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - \frac{1}{2}$ o $x > \frac{5}{3}$

Paso 14

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x < - \frac{1}{2} or x > \frac{5}{3}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (\frac{5}{3}, \infty)$

Paso 15