Álgebra Ejemplos

$\sqrt{1 - 5 x} = 1 + \sqrt{6 - x}$

Paso 1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{1 - 5 x}}^{2} = {(1 + \sqrt{6 - x})}^{2}$

Paso 2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 - 5 x}$ como ${(1 - 5 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 - 5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + \sqrt{6 - x})}^{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${({(1 - 5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(1 - 5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - 5 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{6 - x})}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(1 - 5 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{6 - x})}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(1 - 5 x)}^{1} = {(1 + \sqrt{6 - x})}^{2}$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

$1 - 5 x = {(1 + \sqrt{6 - x})}^{2}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica ${(1 + \sqrt{6 - x})}^{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe ${(1 + \sqrt{6 - x})}^{2}$ como $(1 + \sqrt{6 - x}) (1 + \sqrt{6 - x})$ .

$1 - 5 x = (1 + \sqrt{6 - x}) (1 + \sqrt{6 - x})$

Paso 2.3.1.2

Expande $(1 + \sqrt{6 - x}) (1 + \sqrt{6 - x})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 - 5 x = 1 (1 + \sqrt{6 - x}) + \sqrt{6 - x} (1 + \sqrt{6 - x})$

Paso 2.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 - 5 x = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} (1 + \sqrt{6 - x})$

Paso 2.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$1 - 5 x = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} \cdot 1 + \sqrt{6 - x} \sqrt{6 - x}$

Paso 2.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.3.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$1 - 5 x = 1 + 1 \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} \cdot 1 + \sqrt{6 - x} \sqrt{6 - x}$

Paso 2.3.1.3.1.2

Multiplica $\sqrt{6 - x}$ por $1$ .

$1 - 5 x = 1 + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} \cdot 1 + \sqrt{6 - x} \sqrt{6 - x}$

Paso 2.3.1.3.1.3

Multiplica $\sqrt{6 - x}$ por $1$ .

$1 - 5 x = 1 + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} \sqrt{6 - x}$

Paso 2.3.1.3.1.4

Multiplica $\sqrt{6 - x} \sqrt{6 - x}$ .

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Paso 2.3.1.3.1.4.1

Eleva $\sqrt{6 - x}$ a la potencia de $1$ .

$1 - 5 x = 1 + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} + {\sqrt{6 - x}}^{1} \sqrt{6 - x}$

Paso 2.3.1.3.1.4.2

Eleva $\sqrt{6 - x}$ a la potencia de $1$ .

$1 - 5 x = 1 + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} + {\sqrt{6 - x}}^{1} {\sqrt{6 - x}}^{1}$

Paso 2.3.1.3.1.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 - 5 x = 1 + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} + {\sqrt{6 - x}}^{1 + 1}$

Paso 2.3.1.3.1.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$1 - 5 x = 1 + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} + {\sqrt{6 - x}}^{2}$

Paso 2.3.1.3.1.5

Reescribe ${\sqrt{6 - x}}^{2}$ como $6 - x$ .

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Paso 2.3.1.3.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6 - x}$ como ${(6 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - 5 x = 1 + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} + {({(6 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 2.3.1.3.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - 5 x = 1 + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} + {(6 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 2.3.1.3.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$1 - 5 x = 1 + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} + {(6 - x)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.3.1.3.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.3.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$1 - 5 x = 1 + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} + {(6 - x)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.3.1.3.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$1 - 5 x = 1 + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} + {(6 - x)}^{1}$

Paso 2.3.1.3.1.5.5

Simplifica.

$1 - 5 x = 1 + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} + 6 - x$

Paso 2.3.1.3.2

Suma $1$ y $6$ .

$1 - 5 x = 7 + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} - x$

Paso 2.3.1.3.3

Suma $\sqrt{6 - x}$ y $\sqrt{6 - x}$ .

$1 - 5 x = 7 + 2 \sqrt{6 - x} - x$

Paso 3

Resuelve $2 \sqrt{6 - x}$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $7 + 2 \sqrt{6 - x} - x = 1 - 5 x$ .

$7 + 2 \sqrt{6 - x} - x = 1 - 5 x$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que no contengan $2 \sqrt{6 - x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \sqrt{6 - x} - x = 1 - 5 x - 7$

Paso 3.2.2

Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$2 \sqrt{6 - x} = 1 - 5 x - 7 + x$

Paso 3.2.3

Resta $7$ de $1$ .

$2 \sqrt{6 - x} = - 5 x - 6 + x$

Paso 3.2.4

Suma $- 5 x$ y $x$ .

$2 \sqrt{6 - x} = - 4 x - 6$

Paso 4

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(2 \sqrt{6 - x})}^{2} = {(- 4 x - 6)}^{2}$

Paso 5

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6 - x}$ como ${(6 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(6 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4 x - 6)}^{2}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Simplifica ${(2 {(6 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 {(6 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(6 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4 x - 6)}^{2}$

Paso 5.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 {({(6 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4 x - 6)}^{2}$

Paso 5.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(6 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(6 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 4 x - 6)}^{2}$

Paso 5.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$4 {(6 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 4 x - 6)}^{2}$

Paso 5.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$4 {(6 - x)}^{1} = {(- 4 x - 6)}^{2}$

Paso 5.2.1.4

Simplifica.

$4 (6 - x) = {(- 4 x - 6)}^{2}$

Paso 5.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \cdot 6 + 4 (- x) = {(- 4 x - 6)}^{2}$

Paso 5.2.1.6

Multiplica.

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Paso 5.2.1.6.1

Multiplica $4$ por $6$ .

$24 + 4 (- x) = {(- 4 x - 6)}^{2}$

Paso 5.2.1.6.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$24 - 4 x = {(- 4 x - 6)}^{2}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Simplifica ${(- 4 x - 6)}^{2}$ .

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Paso 5.3.1.1

Reescribe ${(- 4 x - 6)}^{2}$ como $(- 4 x - 6) (- 4 x - 6)$ .

$24 - 4 x = (- 4 x - 6) (- 4 x - 6)$

Paso 5.3.1.2

Expande $(- 4 x - 6) (- 4 x - 6)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$24 - 4 x = - 4 x (- 4 x - 6) - 6 (- 4 x - 6)$

Paso 5.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$24 - 4 x = - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot - 6 - 6 (- 4 x - 6)$

Paso 5.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$24 - 4 x = - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot - 6 - 6 (- 4 x) - 6 \cdot - 6$

Paso 5.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$24 - 4 x = - 4 \cdot - 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 6 - 6 (- 4 x) - 6 \cdot - 6$

Paso 5.3.1.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.1.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$24 - 4 x = - 4 \cdot - 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot - 6 - 6 (- 4 x) - 6 \cdot - 6$

Paso 5.3.1.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$24 - 4 x = - 4 \cdot - 4 x^{2} - 4 x \cdot - 6 - 6 (- 4 x) - 6 \cdot - 6$

Paso 5.3.1.3.1.3

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$24 - 4 x = 16 x^{2} - 4 x \cdot - 6 - 6 (- 4 x) - 6 \cdot - 6$

Paso 5.3.1.3.1.4

Multiplica $- 6$ por $- 4$ .

$24 - 4 x = 16 x^{2} + 24 x - 6 (- 4 x) - 6 \cdot - 6$

Paso 5.3.1.3.1.5

Multiplica $- 4$ por $- 6$ .

$24 - 4 x = 16 x^{2} + 24 x + 24 x - 6 \cdot - 6$

Paso 5.3.1.3.1.6

Multiplica $- 6$ por $- 6$ .

$24 - 4 x = 16 x^{2} + 24 x + 24 x + 36$

Paso 5.3.1.3.2

Suma $24 x$ y $24 x$ .

$24 - 4 x = 16 x^{2} + 48 x + 36$

Paso 6

Resuelve $x$

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Paso 6.1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$16 x^{2} + 48 x + 36 = 24 - 4 x$

Paso 6.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.2.1

Suma $4 x$ a ambos lados de la ecuación.

$16 x^{2} + 48 x + 36 + 4 x = 24$

Paso 6.2.2

Suma $48 x$ y $4 x$ .

$16 x^{2} + 52 x + 36 = 24$

Paso 6.3

Resta $24$ de ambos lados de la ecuación.

$16 x^{2} + 52 x + 36 - 24 = 0$

Paso 6.4

Resta $24$ de $36$ .

$16 x^{2} + 52 x + 12 = 0$

Paso 6.5

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.5.1

Factoriza $4$ de $16 x^{2} + 52 x + 12$ .

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Paso 6.5.1.1

Factoriza $4$ de $16 x^{2}$ .

$4 (4 x^{2}) + 52 x + 12 = 0$

Paso 6.5.1.2

Factoriza $4$ de $52 x$ .

$4 (4 x^{2}) + 4 (13 x) + 12 = 0$

Paso 6.5.1.3

Factoriza $4$ de $12$ .

$4 (4 x^{2}) + 4 (13 x) + 4 (3) = 0$

Paso 6.5.1.4

Factoriza $4$ de $4 (4 x^{2}) + 4 (13 x)$ .

$4 (4 x^{2} + 13 x) + 4 (3) = 0$

Paso 6.5.1.5

Factoriza $4$ de $4 (4 x^{2} + 13 x) + 4 (3)$ .

$4 (4 x^{2} + 13 x + 3) = 0$

Paso 6.5.2

Factoriza.

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Paso 6.5.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 6.5.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot 3 = 12$ y cuya suma es $b = 13$ .

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Paso 6.5.2.1.1.1

Factoriza $13$ de $13 x$ .

$4 (4 x^{2} + 13 (x) + 3) = 0$

Paso 6.5.2.1.1.2

Reescribe $13$ como $1$ más $12$

$4 (4 x^{2} + (1 + 12) x + 3) = 0$

Paso 6.5.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (4 x^{2} + 1 x + 12 x + 3) = 0$

Paso 6.5.2.1.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$4 (4 x^{2} + x + 12 x + 3) = 0$

Paso 6.5.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 6.5.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$4 ((4 x^{2} + x) + 12 x + 3) = 0$

Paso 6.5.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$4 (x (4 x + 1) + 3 (4 x + 1)) = 0$

Paso 6.5.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 x + 1$ .

$4 ((4 x + 1) (x + 3)) = 0$

Paso 6.5.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$4 (4 x + 1) (x + 3) = 0$

Paso 6.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$4 x + 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Paso 6.7

Establece $4 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.7.1

Establece $4 x + 1$ igual a $0$ .

$4 x + 1 = 0$

Paso 6.7.2

Resuelve $4 x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.7.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x = - 1$

Paso 6.7.2.2

Divide cada término en $4 x = - 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 6.7.2.2.1

Divide cada término en $4 x = - 1$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Paso 6.7.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.7.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.7.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Paso 6.7.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Paso 6.7.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.7.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{4}$

Paso 6.8

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.8.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 6.8.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 6.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 (4 x + 1) (x + 3) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{1}{4}, - 3$

Paso 7

Excluye las soluciones que no hagan que $\sqrt{1 - 5 x} = 1 + \sqrt{6 - x}$ sea verdadera.

$x = - 3$