Álgebra Ejemplos

$x^{9} - x^{5} + x^{4} - 1 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x^{9} - x^{5}) + x^{4} - 1 = 0$

Paso 1.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x^{5} (x^{4} - 1) + 1 (x^{4} - 1) = 0$

Paso 1.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x^{4} - 1$ .

$(x^{4} - 1) (x^{5} + 1) = 0$

Paso 1.3

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$({(x^{2})}^{2} - 1) (x^{5} + 1) = 0$

Paso 1.4

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$({(x^{2})}^{2} - 1^{2}) (x^{5} + 1) = 0$

Paso 1.5

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x^{2}$ y $b = 1$ .

$(x^{2} + 1) (x^{2} - 1) (x^{5} + 1) = 0$

Paso 1.6

Simplifica.

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Paso 1.6.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$(x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2}) (x^{5} + 1) = 0$

Paso 1.6.2

Factoriza.

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Paso 1.6.2.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$(x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1)) (x^{5} + 1) = 0$

Paso 1.6.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (x^{5} + 1) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$x^{5} + 1 = 0$

Paso 3

Establece $x^{2} + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $x^{2} + 1$ igual a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x^{2} + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 1$

Paso 3.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Paso 3.2.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Paso 3.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i$

Paso 3.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i$

Paso 3.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i, - i$

Paso 4

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 4.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 5

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 5.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 6

Establece $x^{5} + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x^{5} + 1$ igual a $0$ .

$x^{5} + 1 = 0$

Paso 6.2

Resuelve $x^{5} + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{5} = - 1$

Paso 6.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \sqrt[5]{- 1}$

Paso 6.2.3

Simplifica $\sqrt[5]{- 1}$ .

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Paso 6.2.3.1

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{{(- 1)}^{5}}$

Paso 6.2.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = - 1$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (x^{5} + 1) = 0$ verdadera.

$x = i, - i, - 1, 1$